ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 683 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм с двумя осями симметрии. Если ось симметрии \(a\) параллельна сторонам, то отражение переводит \(B\) в \(C\), а \(D\) в \(A\), следовательно, углы прямые и \(ABCD\) — прямоугольник. Если ось симметрии совпадает с диагональю \(d\), то отражение переводит \(B\) в \(D\), стороны \(AB\) и \(AD\) равны, значит \(ABCD\) — ромб. Таким образом, параллелограмм с двумя осями симметрии — либо прямоугольник, либо ромб.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), у которого имеется две оси симметрии. Ось симметрии — это прямая, относительно которой фигура отображается сама на себя. Для параллелограмма наличие двух осей симметрии накладывает определённые ограничения на его форму и свойства.

Первая возможная ось симметрии может быть параллельна сторонам \(AB\) и \(CD\). При отражении относительно этой оси вершина \(B\) переходит в вершину \(C\), а вершина \(D\) — в вершину \(A\). Это значит, что стороны \(AB\) и \(CD\) лежат на параллельных прямых, которые совпадают с осью симметрии, то есть \(AB \parallel CD \parallel a\). При этом стороны \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны оси \(a\), следовательно, углы при вершинах \(B\) и \(C\) равны \(90^\circ\). Таким образом, все углы параллелограмма равны прямым углам, а значит, \(ABCD\) — прямоугольник.

Вторая ось симметрии может совпадать с одной из диагоналей, например, с диагональю \(d = AC\). При отражении относительно диагонали вершина \(B\) переходит в вершину \(D\), а вершина \(A\) остаётся на месте, так как лежит на оси симметрии. Это означает, что стороны \(AB\) и \(AD\) равны по длине, так как они взаимно переходят друг в друга при отражении. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, \(ABCD\) — ромб.

Таким образом, если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он либо прямоугольник, либо ромб. Первая ось симметрии проходит через середины противоположных сторон и параллельна им, вторая — совпадает с диагональю, которая является осью симметрии. Эти свойства позволяют однозначно определить форму параллелограмма по его осям симметрии.