ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 684 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Параллелограмм имеет четыре оси симметрии, значит количество вершин чётное. По оси \(a\): \(B \to C\), \(D \to A\); по оси \(b\): \(B \to A\), \(D \to C\); по оси \(c\): \(B \to B\), \(A \to C\); по оси \(d\): \(B \to D\), \(A \to A\).

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AB \to CD\) по оси \(a\), значит \(AB \parallel CD \parallel a\). \(BC \perp a\), \(AD \perp a\), \(AB \perp BC\). По оси \(d\): \(AB \to AD\), значит \(AB = AD\).

Так как \(AB \parallel CD\) и \(AB \perp BC\), то \(ABCD\) — прямоугольник. А так как \(AB = AD\), то \(ABCD\) — ромб. Следовательно, \(ABCD\) — квадрат.

Что и требовалось доказать.

Четырёхугольник \(ABCD\) имеет четыре оси симметрии. Значит, каждая ось симметрии отражает фигуру в себя, переводя вершины в вершины. Поскольку у четырёхугольника 4 вершины, а осей симметрии тоже 4, то каждая ось либо проходит через середины противоположных сторон, либо через пары противоположных вершин.

Рассмотрим ось \(a\). По условию, она переводит вершину \(B\) в \(C\), а вершину \(D\) в \(A\). Значит, ось \(a\) — это ось, которая меняет местами пары противоположных вершин \(B\) и \(C\), \(D\) и \(A\).

По оси \(b\) вершина \(B\) переходит в \(A\), а \(D\) в \(C\). Значит, ось \(b\) меняет местами другую пару противоположных вершин.

По оси \(c\) вершина \(B\) остаётся на месте, а \(A\) переходит в \(C\). Значит, ось \(c\) проходит через вершину \(B\) и середину отрезка \(AC\).

По оси \(d\) вершина \(B\) переходит в \(D\), а \(A\) остаётся на месте. Значит, ось \(d\) проходит через вершину \(A\) и середину отрезка \(BD\).

Из этих свойств следует, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и равны, так как ось \(a\) переводит \(AB\) в \(CD\). Значит, \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\).

Также по условию \(BC\) перпендикулярна оси \(a\), а \(AD\) перпендикулярна оси \(a\), следовательно, \(BC \perp AB\) и \(AD \perp AB\).

По оси \(d\) отрезок \(AB\) переходит в \(AD\), значит, \(AB = AD\).

Таким образом, у четырёхугольника \(ABCD\) все стороны равны, а соседние стороны перпендикулярны друг другу, значит, \(ABCD\) — квадрат.

Что и требовалось доказать.