ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 685 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Докажите, что точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно прямой \( O_1O_2 \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle O_1 A O_2 \) и \( \triangle O_1 B O_2 \). Так как \( O_1 A = O_1 B \), \( O_2 A = O_2 B \) и \( O_1 O_2 \) — общая сторона, то треугольники равны по третьему признаку. Значит, \( \angle A O_1 O_2 = \angle B O_1 O_2 \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle A O_1 B \). Отрезок \( O_1 H \) — высота и медиана, так как \( O_1 H \perp AB \) и \( AH = BH \).

Следовательно, точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно прямой \( O_1 O_2 \).

Даны две окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \), которые пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Нужно доказать, что точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно прямой \( O_1 O_2 \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle O_1 A O_2 \) и \( \triangle O_1 B O_2 \). Из условия известно, что \( A \) и \( B \) лежат на обеих окружностях, значит \( O_1 A = O_1 B \) и \( O_2 A = O_2 B \), так как это радиусы соответствующих окружностей. Также \( O_1 O_2 \) — общая сторона для обоих треугольников.

По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними имеем, что \( \triangle O_1 A O_2 = \triangle O_1 B O_2 \). Следовательно, углы при вершинах \( O_1 \) и \( O_2 \) равны: \( \angle A O_1 O_2 = \angle B O_1 O_2 \) и \( \angle A O_2 O_1 = \angle B O_2 O_1 \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle A O_1 B \). Поскольку \( O_1 A = O_1 B \), этот треугольник равнобедренный с основанием \( AB \). Пусть \( H \) — проекция точки \( O_1 \) на отрезок \( AB \). Тогда \( O_1 H \perp AB \) и \( H \) — середина отрезка \( AB \), то есть \( AH = BH \).

Так как \( O_1 H \) — высота и медиана, она является осью симметрии треугольника \( A O_1 B \). По предыдущему равенству углов прямая \( O_1 O_2 \) совпадает с этой осью симметрии.

Следовательно, точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно прямой \( O_1 O_2 \).