ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 686 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \( M \) принадлежит прямому углу \( ABC \) (рис. 183). Точки \( M_1 \) и \( M_2 \) — образы точки \( M \) при симметрии относительно прямых \( BA \) и \( BC \) соответственно. Докажите, что точки \( M_1 \), \( B \), \( M_2 \) лежат на одной прямой.

Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(M \to M_1\) при симметрии относительно \(BA\), \(M \to M_2\) при симметрии относительно \(BC\).

1) Для прямой \(BA\): \(B \to B\), \(M \to M_1\), \(A \to A\), тогда \(\angle MBA = \angle M_1BA\).

2) Для прямой \(BC\): \(B \to B\), \(M \to M_2\), \(C \to C\), тогда \(\angle MBC = \angle M_2BC\).

3) Рассмотрим \(\angle ABC\): \(\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 90^\circ\).

4) Угол \(\angle M_1BM_2 = \angle M_1BA + \angle ABC + \angle M_2BC = \angle MBA + \angle ABC +\)
\(+ \angle MBC = \angle ABM + \angle ABC + \angle CBM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Значит, точки \(M_1\), \(B\), \(M_2\) лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Дано, что \(\angle ABC = 90^\circ\). Рассмотрим точку \(M\) и её образы \(M_1\) и \(M_2\) при симметрии относительно прямых \(BA\) и \(BC\) соответственно.

При симметрии точки \(M\) относительно прямой \(BA\) точка \(B\) остаётся неподвижной, а \(M\) переходит в \(M_1\). Из свойства симметрии следует, что угол \(\angle MBA\) равен углу \(\angle M_1BA\).

Аналогично, при симметрии точки \(M\) относительно прямой \(BC\) точка \(B\) остаётся на месте, а \(M\) переходит в \(M_2\). Тогда угол \(\angle MBC\) равен углу \(\angle M_2BC\).

Поскольку \(\angle ABC = 90^\circ\), то угол \(\angle ABC\) можно разложить на сумму углов \(\angle ABM\) и \(\angle CBM\), то есть \(\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 90^\circ\).

Теперь рассмотрим угол \(\angle M_1BM_2\). Он равен сумме углов \(\angle M_1BA + \angle ABC + \angle M_2BC\). Подставляя равенства из симметрии, получаем \(\angle M_1BM_2 = \angle MBA + \angle ABC + \angle MBC\).

Так как \(\angle MBA = \angle ABM\) и \(\angle MBC = \angle CBM\), то \(\angle M_1BM_2 = \angle ABM + \angle ABC + \angle CBM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Угол \(\angle M_1BM_2 = 180^\circ\) означает, что точки \(M_1\), \(B\), \(M_2\) лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.