ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 689 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A \) и \( B \) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \( a \). На прямой \( a \) найдите такую точку \( X \), чтобы прямая \( a \) содержала биссектрису угла \( AXB \).

Из точки \(B\) опускаем перпендикуляр \(BE\) на прямую \(a\). На перпендикуляре откладываем отрезок \(EB’\), равный \(BE\), но в другую сторону от точки \(E\). Соединяем точки \(B’\) и \(A\). Точка пересечения прямой \(B’A\) с прямой \(a\) и есть точка \(X\), при которой \(a\) — биссектриса угла \(AXB\).

Пусть дана прямая \(a\) и точки \(A\) и \(B\), лежащие по разные стороны от прямой \(a\). Нужно найти точку \(X\) на прямой \(a\), чтобы прямая \(a\) была биссектрисой угла \(AXB\).

Сначала из точки \(B\) опускаем перпендикуляр \(BE\) на прямую \(a\). Точка \(E\) — основание перпендикуляра, то есть \(BE \perp a\).

Затем на перпендикуляре в точке \(E\) откладываем отрезок \(EB’\), равный отрезку \(BE\), но в противоположную сторону от точки \(E\). То есть \(EB’ = BE\), и \(B’\) лежит на продолжении перпендикуляра в сторону, противоположную \(B\).

Далее соединяем точки \(B’\) и \(A\) прямой. Обозначим эту прямую как \(B’A\).

Точка пересечения прямой \(B’A\) с прямой \(a\) обозначаем как \(X\). Эта точка и будет искомой.

По построению треугольники \(BEB’\) равны, так как у них общая сторона \(EE\), и отрезки \(BE = EB’\), а углы при \(E\) прямые.

Из этого следует, что угол \(AXB\) делится прямой \(a\) на два равных угла, то есть прямая \(a\) является биссектрисой угла \(AXB\).

Таким образом, точка \(X\), построенная указанным способом, удовлетворяет условию задачи.