ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 69 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны треугольника равны 12 см и 14 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 7 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Дано: \( BM \) — медиана, \( AB = 12 \), \( BC = 14 \), \( BM = 7 \). Найти \( AC \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \):

\( AM = CM = \frac{1}{2} AC \)

По теореме косинусов:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \)

\( 14^2 = 12^2 + AC^2 — 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \cos \angle A \)

\( 196 = 144 + AC^2 — 24 AC \cos \angle A \)

\( AC^2 — 24 AC \cos \angle A = 52 \)

\( 24 AC \cos \angle A = AC^2 — 52 \)

\( \cos \angle A = \frac{AC^2 — 52}{24 AC} \)

Рассмотрим треугольник \( ABM \):

\( BM^2 = AB^2 + AM^2 — 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \angle A \)

\( 7^2 = 12^2 + \left(\frac{AC}{2}\right)^2 — 2 \cdot 12 \cdot \frac{AC}{2} \cdot \cos \angle A \)

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — 12 AC \cos \angle A \)

Подставим \( \cos \angle A \):

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — 12 AC \cdot \frac{AC^2 — 52}{24 AC} \)

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — \frac{AC^2 — 52}{2} \)

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — \frac{AC^2}{2} + 26 \)

\( 49 = 170 — \frac{AC^2}{4} \)

\( \frac{AC^2}{4} = 170 — 49 = 121 \)

\( AC^2 = 484 \)

\( AC = 22 \)

Ответ: 22 см

Дано, что \( BM \) — медиана треугольника \( ABC \), где \( AB = 12 \), \( BC = 14 \), а длина медианы \( BM = 7 \). Нужно найти длину стороны \( AC \).

Поскольку \( BM \) — медиана, точка \( M \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AM = MC = \frac{1}{2} AC \). Это важный факт, так как он позволяет выразить длину отрезков \( AM \) и \( MC \) через переменную \( AC \), что поможет применить теорему косинусов в треугольниках, где известны другие стороны и медиана.

Рассмотрим треугольник \( ABC \) и применим теорему косинусов к стороне \( BC \). Теорема косинусов говорит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем формулу для стороны \( BC \):

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \).

Подставим известные значения:

\( 14^2 = 12^2 + AC^2 — 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \cos \angle A \),

что даёт уравнение

\( 196 = 144 + AC^2 — 24 AC \cos \angle A \).

Переносим слагаемые, чтобы выразить часть с косинусом:

\( AC^2 — 24 AC \cos \angle A = 52 \).

Отсюда можно выразить косинус угла \( A \):

\( 24 AC \cos \angle A = AC^2 — 52 \),

значит

\( \cos \angle A = \frac{AC^2 — 52}{24 AC} \).

Далее рассмотрим треугольник \( ABM \), где \( BM \) — медиана. Применим теорему косинусов к стороне \( BM \):

\( BM^2 = AB^2 + AM^2 — 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \angle A \).

Подставим известные значения:

\( 7^2 = 12^2 + \left(\frac{AC}{2}\right)^2 — 2 \cdot 12 \cdot \frac{AC}{2} \cdot \cos \angle A \),

то есть

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — 12 AC \cos \angle A \).

Теперь подставим выражение для \( \cos \angle A \), которое мы нашли ранее:

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — 12 AC \cdot \frac{AC^2 — 52}{24 AC} \).

Сократим \( AC \) в числителе и знаменателе:

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — \frac{AC^2 — 52}{2} \).

Раскроем скобки и упростим:

\( 49 = 144 + \frac{AC^2}{4} — \frac{AC^2}{2} + 26 \).

Объединим числа:

\( 49 = 170 — \frac{AC^2}{4} \).

Перенесём \( \frac{AC^2}{4} \) в левую часть и 49 в правую:

\( \frac{AC^2}{4} = 170 — 49 = 121 \).

Умножим обе части на 4:

\( AC^2 = 484 \).

Извлечём корень:

\( AC = 22 \).

Ответ: 22 см.