ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 690 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A \) и \( B \) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \( a \). Найдите на прямой \( a \) такую точку \( X \), чтобы лучи \( XA \) и \( XB \) образовывали с этой прямой равные углы.

Из точки \( A \) опустим перпендикуляр \( AE \) на прямую \( a \). На перпендикуляре отложим отрезок \( EA’ \), равный \( AE \), но в другую сторону от \( E \). Проведём отрезок \( BA’ \). Точка \( X \) — это точка пересечения прямой \( BA’ \) с прямой \( a \). Тогда углы \( \angle XAC \) и \( \angle BXD \) будут равны.

Пусть даны точки \( A \) и \( B \), которые находятся по одну сторону от прямой \( a \). Нужно найти точку \( X \) на прямой \( a \), такую что углы между лучами \( XA \) и \( XB \) и прямой \( a \) равны, то есть \( \angle XAC = \angle BXD \), где \( C \) и \( D \) — проекции точек \( A \) и \( B \) на прямую \( a \).

Сначала из точки \( A \) опустим перпендикуляр \( AE \) на прямую \( a \). Точка \( E \) — это основание перпендикуляра, то есть точка пересечения перпендикуляра из \( A \) с прямой \( a \).

Далее отложим на этом перпендикуляре отрезок \( EA’ \), равный по длине \( AE \), но расположенный с другой стороны точки \( E \) относительно прямой \( a \). Таким образом, точка \( A’ \) является симметричной точке \( A \) относительно прямой \( a \).

Теперь проведём отрезок \( BA’ \), соединяющий точку \( B \) и симметричную точку \( A’ \).

Точка \( X \) — это точка пересечения отрезка \( BA’ \) с прямой \( a \).

В таком построении углы \( \angle XAC \) и \( \angle BXD \) равны, потому что точка \( A’ \) симметрична \( A \) относительно \( a \), а точка \( X \) лежит на прямой \( a \) и на отрезке \( BA’ \). Это обеспечивает равенство углов между лучами \( XA \) и \( XB \) и прямой \( a \).