ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 691 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A \) и \( B \) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \( a \). Найдите на прямой \( a \) такую точку \( X \), чтобы сумма \( AX + XB \) была наименьшей.

Из точки \( A \) опустим перпендикуляр \( AE \) на прямую \( a \). Затем на этом перпендикуляре отложим отрезок \( EA’ = AE \) в сторону от \( E \), получим точку \( A’ \). Проведём прямую \( BA’ \) и отметим точку \( X \) на пересечении \( BA’ \) с прямой \( a \). Точка \( X \) — искомая, при которой сумма \( AX + XB \) минимальна.

Пусть есть прямая \( a \) и точки \( A \) и \( B \), которые лежат по одну сторону от этой прямой. Нужно найти точку \( X \) на прямой \( a \), чтобы сумма расстояний \( AX + XB \) была минимальной.

Сначала от точки \( B \) опустим перпендикуляр \( BE \) на прямую \( a \). Точка \( E \) — проекция \( B \) на \( a \).

Далее на этом перпендикуляре от точки \( E \) отложим отрезок \( EA’ \), равный \( EB \), но в сторону, противоположную \( B \). Получаем точку \( A’ \), которая является отражением точки \( B \) относительно прямой \( a \).

Теперь проведём прямую через точки \( A \) и \( A’ \). Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \( a \) как \( X \).

Точка \( X \) является искомой точкой, так как сумма \( AX + XB \) равна длине отрезка \( AA’ \), а путь \( A \to X \to B \) минимален именно в этой точке.

Таким образом, чтобы найти точку \( X \), нужно построить отражение точки \( B \) относительно прямой \( a \) и провести прямую от \( A \) до отражённой точки \( A’ \). Пересечение этой прямой с \( a \) и будет точкой \( X \), при которой сумма \( AX + XB \) минимальна.