ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 693 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( C \) и \( D \) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \( AB \) (рис. 184). На прямой \( AB \) найдите такую точку \( X \), чтобы \( \angle AXC = \frac{1}{2} \angle DXB \).

Из точки \(C\) опустим перпендикуляр \(CE\) на \(AB\). На перпендикуляре отложим отрезок \(EC’ = CE\). Отметим точку \(F\) на отрезке \(C’D\), так что \(C’F = DF\). Проведем окружность с центром в \(F\) радиуса \(DF\) и окружность с центром в \(C’\) радиуса \(C’E\). Точка \(H\) — пересечение окружностей. Точка \(X\) — пересечение \(AB\) и \(DH\). Тогда \(X\) — искомая точка, для которой \(\angle AXC = \frac{1}{2} \angle DXB\).

Пусть даны точки \(A\) и \(B\) на прямой \(AB\), а точки \(C\) и \(D\) вне этой прямой. Нужно построить точку \(X\) на отрезке \(AB\), такую что \(\angle AXC = \frac{1}{2} \angle DXB\).

Сначала из точки \(C\) опустим перпендикуляр \(CE\) на прямую \(AB\), где \(E\) — точка пересечения этого перпендикуляра с \(AB\).

Далее на стороне от \(E\), противоположной \(C\), отложим отрезок \(EC’\), равный \(EC\), то есть \(EC’ = EC\). Точка \(C’\) лежит на той же прямой, что и \(CE\), но по другую сторону от \(E\).

Теперь рассмотрим отрезок \(C’D\). На нем отметим точку \(F\) так, чтобы \(C’F = DF\). Таким образом, \(F\) — середина отрезка \(C’D\).

Проведем окружность с центром в \(F\) и радиусом \(DF\), а также окружность с центром в \(C’\) и радиусом \(C’E\).

Обозначим точку пересечения этих двух окружностей как \(H\).

После этого проведем прямую через точки \(D\) и \(H\). Точка пересечения этой прямой с прямой \(AB\) будет искомой точкой \(X\).

Таким образом, точка \(X\) лежит на отрезке \(AB\) и удовлетворяет условию \(\angle AXC = \frac{1}{2} \angle DXB\).