ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 698 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 90° (рис. 202).

Дан треугольник ABC и центр поворота O. Повернем треугольник на 90° по часовой стрелке вокруг точки O.

Для каждой точки \( A, B, C \) найдем ее образ \( A’, B’, C’ \) так: угол \( \angle AO A’ = \angle BO B’ = \angle CO C’ = 90^\circ \), расстояния сохраняются: \( AO = OA’ \), \( BO = OB’ \), \( CO = OC’ \).

Построим точки \( A’, B’, C’ \) и соединим их. Получим треугольник \( A’B’C’ \) — образ треугольника \( ABC \) после поворота на 90° по часовой стрелке вокруг точки \( O \).

Дан треугольник ABC и точка O — центр поворота. Нужно повернуть треугольник на 90° по часовой стрелке вокруг точки O.

Сначала для каждой вершины треугольника \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \) найдем новые координаты после поворота.

Пусть координаты центра поворота \( O(x_O, y_O) \). Для удобства перенесем начало координат в точку O: новые координаты точек будут \( (x’_A, y’_A) = (x_A — x_O, y_A — y_O) \), \( (x’_B, y’_B) = (x_B — x_O, y_B — y_O) \), \( (x’_C, y’_C) = (x_C — x_O, y_C — y_O) \).

Поворот на 90° по часовой стрелке задается формулой:
\( x» = y’ \),
\( y» = -x’ \).

Применяем эту формулу к каждой вершине:
\( A’ = (y’_A, -x’_A) \),
\( B’ = (y’_B, -x’_B) \),
\( C’ = (y’_C, -x’_C) \).

Возвращаемся к исходной системе координат, прибавляя координаты центра O:
\( A» = (y’_A + x_O, -x’_A + y_O) \),
\( B» = (y’_B + x_O, -x’_B + y_O) \),
\( C» = (y’_C + x_O, -x’_C + y_O) \).

Таким образом, получили новые координаты точек \( A», B», C» \) — образ треугольника после поворота.

Проверяем, что расстояния от центра O до новых точек равны исходным:
\( AO = OA» \),
\( BO = OB» \),
\( CO = OC» \).

Угол поворота между каждой парой точек равен 90°, то есть
\( \angle AO A» = \angle BO B» = \angle CO C» = 90^\circ \).

Соединяем точки \( A», B», C» \) и получаем треугольник \( A» B» C» \) — искомый образ треугольника \( ABC \) после поворота на 90° по часовой стрелке вокруг точки O.