ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 70 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\), \(\angle ABC = 120^\circ\). На продолжении отрезка \(AB\) за точку \(B\) отметили точку \(D\) так, что \(BD = 2AB\). Докажите, что треугольник \(ACD\) равнобедренный.
Дано: \(AB = BC\), \(\angle ABC = 120^\circ\), \(BD = 2AB\). Доказать: \(\triangle ACD\) равнобедренный.
1) Рассмотрим \(\triangle ABC\):
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\)
\(AC^2 = AB^2 + AB^2 — 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \cos 120^\circ = 2AB^2 — 2AB^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =\)
\(= 2AB^2 + AB^2 = 3AB^2\)
2) Угол \(\angle CBD = 180^\circ — \angle ABC = 60^\circ\).
Рассмотрим \(\triangle BDC\):
\(CD^2 = BC^2 + BD^2 — 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos \angle CBD\)
\(CD^2 = AB^2 + (2AB)^2 — 2 \cdot AB \cdot 2AB \cdot \cos 60^\circ =\)
\(= AB^2 + 4AB^2 — 4AB^2 \cdot \frac{1}{2} = 5AB^2 — 2AB^2 = 3AB^2\)
3) Получаем: \(AC = CD\), значит \(\triangle ACD\) равнобедренный. Что и требовалось доказать.
В условии задачи дан треугольник \(ABC\), в котором стороны \(AB\) и \(BC\) равны, то есть \(AB = BC\). Из этого следует, что треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). Также известно, что угол при вершине \(B\), то есть \(\angle ABC\), равен \(120^\circ\). Кроме того, точка \(D\) лежит на продолжении отрезка \(BC\) так, что \(BD = 2AB\). Нужно доказать, что треугольник \(ACD\) равнобедренный.
Для начала найдем длину стороны \(AC\) в треугольнике \(ABC\). Поскольку \(AB = BC\), обозначим длину этих сторон через \(a\). Тогда по теореме косинусов для треугольника \(ABC\) имеем:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\).
Подставим значения:
\(AC^2 = a^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120^\circ\).
Известно, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), поэтому:
\(AC^2 = 2a^2 — 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2\).
Отсюда следует, что \(AC = \sqrt{3}a\).
Теперь рассмотрим треугольник \(BDC\). По условию, \(BD = 2a\), а \(BC = a\). Угол \(\angle CBD\) является внешним к углу \(ABC\) и равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Применим теорему косинусов для треугольника \(BDC\), чтобы найти сторону \(CD\):
\(CD^2 = BC^2 + BD^2 — 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos \angle CBD\).
Подставим известные значения:
\(CD^2 = a^2 + (2a)^2 — 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos 60^\circ = a^2 + 4a^2 — 4a^2 \cdot \frac{1}{2} = 5a^2 — 2a^2 =\)
\(= 3a^2\).
Отсюда следует, что \(CD = \sqrt{3}a\).
Мы получили, что \(AC = \sqrt{3}a\) и \(CD = \sqrt{3}a\), то есть стороны \(AC\) и \(CD\) равны. Значит, треугольник \(ACD\) равнобедренный, так как две его стороны равны. Это и требовалось доказать.
