ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 701 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 205 изображены два равных отрезка AB и BC такие, что ∠ABC = 60°. Найдите точку O такую, что отрезок AB — это образ отрезка BC при повороте вокруг точки O против часовой стрелки на угол 120°.

Пусть \( O \) — центр поворота. Тогда при повороте на 120° против часовой стрелки верно: \( AO = BO = CO = R \).

Так как \( AB = BC \) и \(\angle ABC = 60^\circ\), треугольник \( ABC \) равносторонний.

Центр описанной окружности равностороннего треугольника — точка пересечения медиан, её координаты равны среднему арифметическому координат вершин:

\( O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \).

Пусть \( O \) — точка поворота, при котором отрезок \( BC \) поворачивается на 120° против часовой стрелки и переходит в отрезок \( AB \). Значит поворот переводит точку \( B \) в точку \( A \), а точку \( C \) в точку \( B \).

Так как поворот сохраняет расстояния, то \( O \) равноудалена от точек \( A \), \( B \) и \( C \). Значит \( OA = OB = OC = R \), где \( R \) — радиус описанной окружности треугольника \( ABC \).

Из условия \( AB = BC \) и угол \( \angle ABC = 60^\circ \), значит треугольник \( ABC \) равнобедренный с углом при вершине \( B \) равным 60°. В равнобедренном треугольнике с углом 60° при вершине основание равно боковой стороне, значит треугольник \( ABC \) равносторонний.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести, который находится в точке пересечения медиан, высот и биссектрис.

Координаты центра тяжести \( O \) равны среднему арифметическому координат вершин \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \):

\( O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \).