ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 702 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 206 изображены два равных отрезка MN и NK такие, что ∠MNK = 90°. Найдите точку O такую, что отрезок NK — это образ отрезка MN при повороте вокруг точки O по часовой стрелке на угол 90°.

Пусть \(M = (1,1)\), \(N = (1,4)\), \(K = (4,4)\).

Середина отрезка \(MN\): \(S_1 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = (1, \frac{5}{2})\).

Середина отрезка \(NK\): \(S_2 = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 4\right)\).

Перпендикуляр к \(MN\) проходит через \(S_1\) и имеет направление по оси \(x\), так как \(MN\) вертикальный.

Уравнение перпендикуляра к \(MN\): \(y = \frac{5}{2}\).

Перпендикуляр к \(NK\) проходит через \(S_2\) и имеет направление по оси \(y\), так как \(NK\) горизонтальный.

Уравнение перпендикуляра к \(NK\): \(x = \frac{5}{2}\).

Точка пересечения перпендикуляров — центр поворота \(O = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)\).

Пусть координаты точек \(M\), \(N\) и \(K\) равны \(M = (1,1)\), \(N = (1,4)\), \(K = (4,4)\).

Сначала найдём середины отрезков \(MN\) и \(NK\). Для отрезка \(MN\) середина \(S_1\) вычисляется как \(S_1 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = (1, \frac{5}{2})\).

Для отрезка \(NK\) середина \(S_2\) равна \(S_2 = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 4\right)\).

Далее определим уравнения перпендикуляров к отрезкам \(MN\) и \(NK\), проходящих через их середины.

Отрезок \(MN\) вертикальный, так как \(x\)-координаты точек \(M\) и \(N\) одинаковы. Значит, перпендикуляр к нему будет горизонтальным и проходить через точку \(S_1\), то есть иметь уравнение \(y = \frac{5}{2}\).

Отрезок \(NK\) горизонтальный, так как \(y\)-координаты точек \(N\) и \(K\) одинаковы. Перпендикуляр к нему будет вертикальным и проходить через точку \(S_2\), то есть иметь уравнение \(x = \frac{5}{2}\).

Точка пересечения этих перпендикуляров найдётся из системы уравнений:

\(y = \frac{5}{2}\),

\(x = \frac{5}{2}\).

Следовательно, центр поворота \(O\) имеет координаты \(O = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)\).