ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 705 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

В параллелограмме \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). По свойству параллелограмма \( AO = OC \) и \( BO = OD \). Значит, точка \( O \) делит диагонали пополам. При симметрии относительно точки \( O \) вершина \( A \) переходит в \( C \), \( C \) — в \( A \), \( B \) — в \( D \), а \( D \) — в \( B \). Значит, \( O \) — центр симметрии параллелограмма. Что и требовалось доказать.

В параллелограмме \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). По свойству параллелограмма точка пересечения диагоналей делит их пополам, значит \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

Рассмотрим симметрию относительно точки \( O \). При такой симметрии каждая точка переходит в точку, находящуюся на том же расстоянии от \( O \), но в противоположном направлении.

Так как \( O \) — середина отрезка \( AC \), то точка \( A \) при симметрии относительно \( O \) перейдет в точку \( C \), а точка \( C \) — в точку \( A \).

Аналогично, так как \( O \) — середина отрезка \( BD \), точка \( B \) перейдет в точку \( D \), а точка \( D \) — в точку \( B \).

Таким образом, вершины параллелограмма переходят друг в друга при симметрии относительно точки \( O \). Это значит, что каждая точка фигуры имеет свою противоположную точку, симметричную относительно \( O \).

Следовательно, точка \( O \) является центром симметрии параллелограмма \( ABCD \).

Что и требовалось доказать.