ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 706 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что окружность имеет центр симметрии.

Дано: \(O\) — центр окружности;
Доказать: \(O\) — центр симметрии.

Решение:
1) Построим диаметр \(AB\).
2) Рассмотрим окружность: \(OA = OB = R\), \(B \in AO\);
3) Тогда \(A \leftrightarrow B\), \(B \leftrightarrow A\), \(O \leftrightarrow O\);
Что и требовалось доказать.

Дано: \(O\) — центр окружности. Нужно доказать, что \(O\) — центр симметрии окружности.

Пусть \(A\) — любая точка на окружности. Проведём отрезок \(OA\), который будет радиусом окружности. По определению окружности все точки на ней находятся на одинаковом расстоянии \(R\) от центра \(O\), то есть \(OA = R\).

Рассмотрим точку \(B\), симметричную точке \(A\) относительно точки \(O\). По определению симметрии, точка \(O\) является серединой отрезка \(AB\), то есть \(O\) лежит между \(A\) и \(B\), и \(OA = OB\).

Так как \(OA = R\), то \(OB = R\) тоже, значит точка \(B\) тоже лежит на окружности с центром \(O\) и радиусом \(R\).

Таким образом, для каждой точки \(A\) на окружности существует точка \(B\), симметричная ей относительно \(O\), которая тоже принадлежит окружности.

Это означает, что центр \(O\) является центром симметрии окружности, так как каждая точка окружности имеет симметричную ей точку на той же окружности. Что и требовалось доказать.