ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 707 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A_1\) и \(B_1\) являются образами соответственно точек A и B при симметрии относительно точки, не принадлежащей прямой AB. Докажите, что четырёхугольник ABA\(B_1\) — параллелограмм.

В четырёхугольнике \( ABA_1B_1 \) по условию симметрии относительно точки \( O \) выполняется: \( AO = OA_1 \), \( BO = OB_1 \), точки \( A_1 \) и \( B_1 \) лежат на продолжениях отрезков \( AO \) и \( BO \) соответственно. Тогда \( AB \parallel A_1B_1 \) и \( AA_1 \parallel BB_1 \), значит \( ABA_1B_1 \) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Пусть \( O \) — точка симметрии, а \( A_1 \) и \( B_1 \) — образы точек \( A \) и \( B \) соответственно при симметрии относительно \( O \).

По определению симметрии точка \( O \) является серединой отрезков \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Значит, выполняется равенство \( AO = OA_1 \) и \( BO = OB_1 \).

Из этого следует, что векторы \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OA_1} \) противоположны и равны по длине, то есть \( \overrightarrow{OA_1} = -\overrightarrow{OA} \). Аналогично \( \overrightarrow{OB_1} = -\overrightarrow{OB} \).

Рассмотрим векторы сторон четырёхугольника \( ABA_1B_1 \). Вектор \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OA} \), а вектор \( \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{OB_1} — \overrightarrow{OA_1} \).

Подставляя, получаем: \( \overrightarrow{A_1B_1} = -\overrightarrow{OB} — (-\overrightarrow{OA}) = -\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} = -(\overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OA}) = -\overrightarrow{AB} \).

Это значит, что \( \overrightarrow{A_1B_1} \) направлен противоположно \( \overrightarrow{AB} \), но равен по длине, следовательно, \( AB \parallel A_1B_1 \) и \( AB = A_1B_1 \).

Аналогично рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{OA_1} — \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA} = -2 \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{OB_1} — \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OB} = -2 \overrightarrow{OB} \).

Так как \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{BB_1} \) параллельны и равны по длине, то \( AA_1 \parallel BB_1 \) и \( AA_1 = BB_1 \).

Таким образом, в четырёхугольнике \( ABA_1B_1 \) противоположные стороны попарно равны и параллельны.

По определению, это означает, что четырёхугольник \( ABA_1B_1 \) является параллелограммом.