ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 709 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая.

Дано: \( O \) — центр симметрии; \( AO \) — прямая. Рассмотрим прямую \( AO \). Пусть \( A \to A’ \), тогда \( OA = OA’ \) и \( A’ \in AO \). Так как \( O \to O \), то \( AO \to OA’ \), а \( OA’ = AO \). Значит, \( AO \to AO \). Что и требовалось доказать.

Пусть \( O \) — центр симметрии, и дана прямая \( AO \), проходящая через точку \( O \). Рассмотрим произвольную точку \( A \) на этой прямой. При центральной симметрии относительно точки \( O \) точка \( A \) переходит в точку \( A’ \), такую что \( O \) — середина отрезка \( AA’ \). Это значит, что \( OA = OA’ \) и точки \( A, O, A’ \) лежат на одной прямой.

Поскольку \( A \) лежит на прямой \( AO \), а \( A’ \) — симметричная точка относительно \( O \), то \( A’ \) тоже лежит на прямой \( AO \). Таким образом, образ точки \( A \) при центральной симметрии находится на той же прямой \( AO \).

Далее, точка \( O \) при центральной симметрии отображается сама в себя, так как она является центром симметрии. Поэтому прямая \( AO \) при центральной симметрии отображается в прямую, проходящую через \( O \) и \( A’ \), то есть в саму прямую \( AO \).

Таким образом, для любой точки \( A \) на прямой \( AO \) её образ \( A’ \) также лежит на \( AO \), и центр симметрии \( O \) остаётся на месте. Значит, прямая \( AO \) при центральной симметрии отображается в себя. Что и требовалось доказать.