ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 71 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(m_c\) — медиана треугольника, проведённая к стороне \(c\).

Дано: \(CM\) — медиана, \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\), \(CM = m_c\).

\(m_c^2 = b^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 — 2 \cdot b \cdot \frac{c}{2} \cdot \cos \angle A\)

\(\cos \angle A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\)

\(m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} — b c \cdot \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2 b c} = b^2 + \frac{c^2}{4} — \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2}\)

\(m_c^2 = \frac{2b^2 + 2a^2 — c^2}{4}\)

\(m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\)

Пусть \(CM\) — медиана, проведённая к стороне \(AB\), тогда точка \(M\) — середина \(AB\), и \(AM = MB = \frac{c}{2}\).

В треугольнике \(ABC\) по теореме косинусов для стороны \(BC\) имеем: \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos \angle A\).

Отсюда выразим косинус угла \(A\): \(\cos \angle A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\).

Рассмотрим треугольник \(ACM\). В нём медиана \(CM\) является стороной, и по теореме косинусов для неё:

\(m_c^2 = b^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 — 2 \cdot b \cdot \frac{c}{2} \cdot \cos \angle A\).

Подставим выражение для \(\cos \angle A\):

\(m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} — b c \cdot \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2 b c} = b^2 + \frac{c^2}{4} — \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2}\).

Раскроем скобки:

\(m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} — \frac{b^2}{2} — \frac{c^2}{2} + \frac{a^2}{2}\).

Сгруппируем подобные члены:

\(m_c^2 = \frac{2b^2}{2} — \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{4} — \frac{c^2}{2} + \frac{a^2}{2} = \frac{b^2}{2} — \frac{c^2}{4} + \frac{a^2}{2}\).

Приведём к общему знаменателю 4:

\(m_c^2 = \frac{2b^2}{4} — \frac{c^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{2b^2 + 2a^2 — c^2}{4}\).

Следовательно,

\(m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\).