ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 710 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки A (х; -2) и B (1; у) симметричны относительно: 1) начала координат; 2) точки M (-1; 3). Найдите х и у.

Даны точки \( A(x; -2) \) и \( B(1; y) \).

1) Симметрия относительно точки \( O(0; 0) \):

\( A’ = (-x; 2) \), \( B’ = (-1; -y) \)

По условию: \( A’ = B \), \( B’ = A \)

Отсюда \( -x = 1 \Rightarrow x = -1 \), \( 2 = y \)

2) Симметрия относительно точки \( M(-1; 3) \):

Образ точки \( P(x; y) \) при симметрии относительно \( M \) — \( P’ = (2 \cdot (-1) — x, 2 \cdot 3 — y) = (-2 — x, 6 — y) \)

Тогда \( A’ = (-2 — x; 8) \), \( B’ = (-3; 6 — y) \)

По условию: \( A’ = B \), \( B’ = A \)

Отсюда \( -2 — x = 1 \Rightarrow x = -3 \), \( 8 = y \)

Проверка: \( 6 — y = -2 \Rightarrow y = 8 \)

Даны точки \( A(x; -2) \) и \( B(1; y) \).

При симметрии относительно начала координат \( O(0; 0) \) координаты точек меняются на противоположные, то есть точка \( (x; y) \) переходит в точку \( (-x; -y) \). Значит, образ точки \( A(x; -2) \) будет \( A'(-x; 2) \), а образ точки \( B(1; y) \) будет \( B'(-1; -y) \).

По условию задачи точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно точки \( O \), значит образ точки \( A \) совпадает с точкой \( B \), а образ точки \( B \) совпадает с точкой \( A \). Запишем это как равенства: \( A’ = B \) и \( B’ = A \).

Из равенства \( A’ = B \) получаем \( -x = 1 \) и \( 2 = y \). Отсюда следует, что \( x = -1 \) и \( y = 2 \).

Переходим к симметрии относительно точки \( M(-1; 3) \). При центральной симметрии относительно точки \( M(x_0; y_0) \) координаты точки \( P(x; y) \) переходят в точку \( P’ = (2x_0 — x; 2y_0 — y) \).

Для точки \( A(x; -2) \) образ будет \( A’ = (2 \cdot (-1) — x; 2 \cdot 3 — (-2)) = (-2 — x; 6 + 2) = (-2 — x; 8) \).

Для точки \( B(1; y) \) образ будет \( B’ = (2 \cdot (-1) — 1; 2 \cdot 3 — y) = (-2 — 1; 6 — y) = (-3; 6 — y) \).

По условию симметрии точки \( A \) и \( B \) относительно точки \( M \) образы точек меняются местами, то есть \( A’ = B \) и \( B’ = A \).

Из равенства \( A’ = B \) получаем \( -2 — x = 1 \) и \( 8 = y \). Следовательно, \( x = -3 \) и \( y = 8 \).

Проверим равенство \( B’ = A \): \( (-3; 6 — y) = (x; -2) \). Подставим найденные значения: \( 6 — 8 = -2 \), что верно.