ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 712 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 209). Укажите образы точек C, \(C_1\) и O, стороны BC, медианы \(BB_1\), отрезка \(OC_1\), треугольника \(A_1B_1C_1\) при повороте вокруг точки O против часовой стрелки на угол 120°.

При повороте вокруг точки \(O\) против часовой стрелки на угол 120°:

\(C \to B\), \(C_1 \to B_1\), \(O \to O\);

сторона \(BC \to AB\), медиана \(BB_1 \to AA_1\), отрезок \(OC_1 \to OB_1\);

треугольник \(A_1B_1C_1 \to A_1B_1C_1\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\). Точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\), \(AB\) соответственно. Точка \(O\) — точка пересечения медиан, то есть центр тяжести треугольника.

Поворот на \(120^\circ\) против часовой стрелки вокруг точки \(O\) переводит вершины равностороннего треугольника по циклу: \(A \to B\), \(B \to C\), \(C \to A\). Следовательно, точка \(C\) перейдёт в точку \(B\).

Поскольку \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины сторон, то под тем же поворотом они переходят циклически друг в друга: \(C_1 \to B_1\).

Точка \(O\) — центр поворота, поэтому она остаётся на месте: \(O \to O\).

Рассмотрим стороны треугольника. Сторона \(BC\) под поворотом перейдёт в сторону \(AB\), так как вершины \(B\) и \(C\) переходят в \(C\) и \(A\) соответственно.

Медиана \(BB_1\), исходящая из вершины \(B\), перейдёт в медиану \(AA_1\), так как вершина \(B\) переходит в \(A\), а середина противоположной стороны \(B_1\) — в \(A_1\).

Отрезок \(OC_1\), соединяющий центр \(O\) с серединой стороны \(C_1\), под поворотом перейдёт в отрезок \(OB_1\), так как \(C_1 \to B_1\), а \(O\) остаётся на месте.

Таким образом, треугольник \(A_1B_1C_1\) под поворотом на \(120^\circ\) против часовой стрелки вокруг \(O\) переходит в треугольник \(A_1B_1C_1\) с перестановкой вершин по циклу.

Итог: \(C \to B\), \(C_1 \to B_1\), \(O \to O\); \(BC \to AB\), \(BB_1 \to AA_1\), \(OC_1 \to OB_1\); \(A_1B_1C_1 \to A_1B_1C_1\).