ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 715 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии.

Треугольник не имеет центра симметрии.

1) Пусть \( A \to C \), тогда \( O \in AC \), но \( O \notin AB \) и \( O \notin BC \). Точка \( B \to B_1 \), при этом \( B_1 \neq A \) и \( B_1 \neq C \), значит симметрия не сохраняет треугольник.

2) Пусть \( A \to A \), тогда \( B \to B_1 \), где \( B_1 \neq A \) и \( B_1 \neq C \), и \( C \to C_1 \), где \( C_1 \neq A \) и \( C_1 \neq B \). Значит треугольник не сохраняется.

Что и требовалось доказать.

Пусть треугольник \( ABC \) имеет центр симметрии \( O \). По определению центра симметрии для любой точки \( X \) фигуры существует точка \( X_1 \), такая что \( O \) — середина отрезка \( XX_1 \).

Рассмотрим вершины треугольника. Если \( A \to C \) при симметрии относительно \( O \), то \( O \) лежит на отрезке \( AC \). Тогда \( O \notin AB \) и \( O \notin BC \). Точка \( B \) переходит в точку \( B_1 \), которая не может совпадать с \( A \) или \( C \), так как \( O \) лежит только на \( AC \). Значит \( B_1 \) не принадлежит треугольнику, что противоречит условию симметрии.

Если же \( A \to A \), то точки \( B \to B_1 \) и \( C \to C_1 \), где \( B_1 \neq A \), \( B_1 \neq C \), \( C_1 \neq A \), \( C_1 \neq B \). Это означает, что вершины меняются местами или уходят за пределы треугольника, и симметрия не сохраняет треугольник.

Таким образом, ни одна точка не может быть центром симметрии треугольника, так как при любом предположении симметрия не сохраняет треугольник целиком. Что и требовалось доказать.