ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 717 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

Четырёхугольник \(ABCD\) имеет центр симметрии \(O\), значит при центральной симметрии \(A \to C\), \(B \to D\). Тогда отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(CD\), то есть \(AB \to CD\). При этом длины сторон равны: \(AB = CD\), и они параллельны: \(AB \parallel CD\). Аналогично \(BC \to DA\), значит \(BC = DA\) и \(BC \parallel DA\). Значит у четырёхугольника противоположные стороны равны и параллельны, а это значит, что \(ABCD\) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Пусть четырёхугольник \(ABCD\) имеет центр симметрии \(O\). Это значит, что при повороте на 180 градусов вокруг точки \(O\) каждая точка четырёхугольника переходит в другую точку четырёхугольника. В частности, точка \(A\) переходит в точку \(C\), а точка \(B\) — в точку \(D\).

Поскольку центральная симметрия сохраняет расстояния и направление векторов с точностью до противоположного направления, отрезок \(AB\) при этом переходит в отрезок \(CD\). Значит, длина отрезка \(AB\) равна длине отрезка \(CD\), то есть \(AB = CD\). Также, так как симметрия сохраняет направление, отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны, то есть \(AB \parallel CD\).

Аналогично, отрезок \(BC\) при центральной симметрии переходит в отрезок \(DA\). Значит, длины этих отрезков равны: \(BC = DA\), и они параллельны: \(BC \parallel DA\).

Таким образом, у четырёхугольника \(ABCD\) противоположные стороны равны и параллельны: \(AB = CD\), \(BC = DA\), \(AB \parallel CD\), \(BC \parallel DA\). Это и есть определение параллелограмма.

Следовательно, если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он обязательно является параллелограммом.