ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 718 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) симметричны относительно точки \(O\) (рис. 212). Прямая, проходящая через центр симметрии, пересекает первую окружность в точках \(A_1\) и \(B_1\), а вторую — в точках \(A_2\) и \(B_2\). Докажите, что \(A_1B_1 = A_2B_2\).

Дано: \(O\) — центр симметрии; \(O \in A_1B_1\); \(O_1 \to O_2\).

Рассмотрим окружности. Пусть \(A_1 \to A_2\), \(B_1 \to B_2\) — точки на окружностях, симметричные относительно \(O\).

Тогда \(A_1, B_1 \in O_1\), \(A_1, B_1 \in A_1O\); \(A_2, B_2 \in O_2\), \(A_2, B_2 \in A_2O\).

Из центра симметрии следует, что \(A_1B_1 = A_2B_2\).

Что и требовалось доказать.

Пусть \(O\) — центр симметрии, точка \(O\) лежит на отрезке \(A_1B_1\). По условию, точки \(A_2\) и \(B_2\) — образы точек \(A_1\) и \(B_1\) при центральной симметрии относительно точки \(O\).

Центральная симметрия — это преобразование, при котором каждая точка и её образ симметричны относительно центра \(O\), то есть \(O\) — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.

Так как \(O\) — центр симметрии, то для точек \(A_1\) и \(A_2\) выполняется равенство \(O\) — середина отрезка \(A_1A_2\), то есть \(OA_1 = OA_2\). Аналогично для точек \(B_1\) и \(B_2\) выполняется \(OB_1 = OB_2\).

Из этого следует, что отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) равны, потому что симметрия сохраняет длины. То есть \(A_1B_1 = A_2B_2\).

Таким образом, мы доказали, что при центральной симметрии относительно точки \(O\) отрезок \(A_1B_1\) равен отрезку \(A_2B_2\).