ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 719 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Пусть вершина \(A\) равностороннего треугольника \(ABC\) является центром поворота на угол 120°. Найдите отрезок \(BC_1\), где точка \(C_1\) — образ точки \(C\) при данном повороте, если \(AB = 1\) см. Сколько решений имеет задача?
В треугольнике \(ABC\) все стороны равны, значит \(AB = BC = AC = 1\) см, а угол \(A = 60^\circ\). Поворот точки \(C\) вокруг точки \(A\) на \(120^\circ\) может быть по часовой или против часовой стрелки.
Если поворот по часовой стрелке, то угол между \(AC\) и \(AC_1\) равен \(120^\circ\), и длина \(BC_1 = AB + AC_1 = 1 + 1 = 2\) см.
Если поворот против часовой стрелки, то угол между \(AC\) и \(AC_1\) также \(120^\circ\), но в этом случае треугольник \(BC_1A\) равносторонний, и \(BC_1 = AB = AC_1 = 1\) см.
Ответ: \(1\) см; \(2\) см.
Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\), в котором все стороны равны и равны \(1\) см, то есть \(AB = BC = AC = 1\). Угол при каждой вершине равен \(60^\circ\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а все углы равны. Это важно, потому что при повороте точки вокруг вершины треугольника мы будем учитывать именно эти углы и равенство сторон.
Точка \(C\) поворачивается вокруг точки \(A\) на угол \(a = 120^\circ\). Поворот — это движение точки по кругу с центром в \(A\), при котором расстояние от \(A\) до точки не меняется. Значит, длина отрезка \(AC_1\), где \(C_1\) — образ точки \(C\) после поворота, равна исходной длине \(AC\), то есть \(AC_1 = AC = 1\). Таким образом, точка \(C_1\) лежит на окружности радиуса \(1\) с центром в \(A\), но повернута на \(120^\circ\) относительно точки \(C\).
Рассмотрим два варианта поворота: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если поворот происходит по часовой стрелке, то угол между векторами \(AC\) и \(AC_1\) равен \(120^\circ\), и точки \(B\), \(A\), \(C_1\) оказываются на одной прямой. В этом случае длина отрезка \(BC_1\) равна сумме длин \(AB\) и \(AC_1\), то есть \(BC_1 = AB + AC_1 = 1 + 1 = 2\) см. Если же поворот происходит против часовой стрелки, угол между \(AC\) и \(AC_1\) также равен \(120^\circ\), но теперь треугольник \(BC_1A\) оказывается равносторонним, поскольку все его стороны равны \(1\) см. Тогда длина отрезка \(BC_1\) равна \(1\) см.
Таким образом, в зависимости от направления поворота, длина отрезка \(BC_1\) может быть либо \(1\) см, либо \(2\) см. Эти два варианта соответствуют двум возможным положениям точки \(C_1\) после поворота на угол \(120^\circ\) вокруг точки \(A\). Итоговый ответ: \(1\) см; \(2\) см.
