ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 72 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В окружности проведены диаметр \(AC\) и хорда \(AB\), равная радиусу окружности. Найдите углы треугольника \(ABC\).
Дано: \(O\) — центр окружности, \(AC\) — диаметр, \(AB = R\).
Так как \(AC\) — диаметр, то \(\angle ABC = 90^\circ\).
В треугольнике \(AOB\) все стороны равны \(R\), значит он равносторонний, и \(\angle BAC = 60^\circ\).
Сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\), значит \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
Подставляем известные углы: \(60^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ\).
Отсюда \(\angle C = 180^\circ — 60^\circ — 90^\circ = 30^\circ\).
Ответ: \(30^\circ; 60^\circ; 90^\circ\).
В окружности с центром \(O\) и радиусом \(R\) дан отрезок \(AC\), который является диаметром. По определению, диаметр — это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на окружности, поэтому длина диаметра равна удвоенному радиусу, то есть \(AC = 2R\). Это важное свойство, которое поможет нам определить углы в треугольнике \(ABC\).
Пусть точка \(B\) лежит на окружности, и известно, что хорда \(AB\) равна радиусу \(R\). Значит, отрезок \(AB\) равен \(R\). Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором одна сторона \(AC\) — это диаметр, а другая сторона \(AB\) равна радиусу. По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, равен прямому углу. Следовательно, угол \(ABC\) равен \(90^\circ\).
Теперь рассмотрим треугольник \(AOB\), где \(O\) — центр окружности. Поскольку \(AO\) и \(BO\) — радиусы окружности, они равны \(R\). По условию \(AB = R\), значит все три стороны треугольника \(AOB\) равны между собой, то есть треугольник равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), поэтому угол \(BAO\) равен \(60^\circ\). Поскольку угол \(BAO\) является частью угла \(BAC\) в треугольнике \(ABC\), то \(\angle A = 60^\circ\).
В треугольнике сумма всех углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). Мы уже нашли, что \(\angle B = 90^\circ\) и \(\angle A = 60^\circ\). Подставим эти значения в уравнение для суммы углов: \(60^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ\). Вычтем сумму известных углов из \(180^\circ\), чтобы найти угол \(C\): \(\angle C = 180^\circ — 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
Таким образом, углы треугольника \(ABC\) равны \(30^\circ\), \(60^\circ\) и \(90^\circ\). Это классический набор углов прямоугольного треугольника, где стороны и углы связаны с радиусом окружности и диаметром. Такой разбор помогает понять взаимосвязь между элементами окружности и треугольника, построенного на ней.
