ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 721 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого: по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(EFMN\) — параллелограмм с вершинами на сторонах \(AB, BC, CD, DA\). Нужно доказать, что точки пересечения диагоналей совпадают.
Решение: Рассмотрим треугольники \( \triangle AEN \) и \( \triangle CFM \). Из условия \( EN = FM \) и \( EN \parallel FM \). Так как \( BC \parallel AD \), углы \( \angle ANE = \angle CFM \). По второму признаку равенства треугольников \( \triangle AEN = \triangle CFM \), значит \( AE = CM \).
В параллелограмме \( ABCD \) точка \( O \) — центр симметрии, то есть \( AC \cap BD = O \), и при этом \( AB \to CD, AE = CM, A \to C, E \to M \).
В параллелограмме \( EFMN \) диагонали пересекаются в точке \( O \), так как \( EO = OM \). Следовательно, \( EM \cap FN = O \).
Что и требовалось доказать.
Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, и на сторонах \(AB, BC, CD, DA\) лежат вершины \(E, F, M, N\) параллелограмма \(EFMN\).
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). По свойству параллелограмма, \(O\) — центр симметрии, значит \(O\) делит диагонали пополам: \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
Рассмотрим треугольники \( \triangle AEN \) и \( \triangle CFM \). Из условия \(EFMN\) — параллелограмм, значит стороны \(EN\) и \(FM\) равны и параллельны: \(EN = FM\) и \(EN \parallel FM\).
Так как \(BC \parallel AD\), углы при вершинах \(N\) и \(F\) равны: \( \angle ANE = \angle CFM \). В треугольниках \( \triangle AEN \) и \( \triangle CFM \) две стороны и угол между ними равны, значит по второму признаку треугольники равны: \( \triangle AEN = \triangle CFM \).
Отсюда следует, что \(AE = CM\).
Поскольку \(O\) — центр симметрии параллелограмма \(ABCD\), то точки \(A\) и \(C\), а также \(E\) и \(M\) симметричны относительно \(O\). Значит \(EO = OM\).
В параллелограмме \(EFMN\) диагонали \(EM\) и \(FN\) пересекаются в точке \(O\), так как \(O\) — середина обеих диагоналей.
Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелограммов \(ABCD\) и \(EFMN\) совпадает и равна \(O\).
Что и требовалось доказать.
