ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 724 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) принадлежит углу \(ABC\) и не принадлежит его сторонам. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка \(M\), а две другие вершины принадлежат сторонам \(BA\) и \(BC\) соответственно.
В точке \(M\) проведём перпендикуляр к \(BM\), отметим точку \(N\) на пересечении с \(BC\). На луче \(MB\) отложим отрезок \(MK = MN\). В точке \(K\) проведём перпендикуляр к \(BC\), отметим точку \(E\) на пересечении с \(AB\). Из точки \(M\) проведём окружность радиуса \(ME\), отметим точку \(F\) на пересечении с прямой \(BC\). Треугольник \(MEF\) — равнобедренный прямоугольный с прямым углом в \(M\).
Пусть \(M\) — точка внутри угла \(ABC\), не лежащая на сторонах. Сначала проведём из точки \(M\) перпендикуляр к стороне \(BC\). Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с \(BC\) как \(N\). Таким образом, \(MN \perp BC\).
Далее на луче \(MB\) отложим отрезок \(MK\), равный отрезку \(MN\), то есть \(MK = MN\). Точка \(K\) лежит на луче \(MB\).
В точке \(K\) проведём перпендикуляр к стороне \(BC\). Этот перпендикуляр пересечёт сторону \(AB\) в точке \(E\), значит \(KE \perp BC\), а \(E\) лежит на \(AB\).
Теперь проведём окружность с центром в точке \(M\) и радиусом \(ME\). Пусть эта окружность пересекает сторону \(BC\) в точке \(F\). Тогда \(MF = ME\).
Рассмотрим треугольник \(MEF\). Поскольку \(ME = MF\), треугольник равнобедренный. Углы при вершине \(M\) равны, а так как \(MN\) и \(KE\) перпендикулярны \(BC\), угол \(EMF\) прямой, то есть \(90^\circ\).
Таким образом, треугольник \(MEF\) равнобедренный и прямоугольный с прямым углом в вершине \(M\), а точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно.
