ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 725 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На стороне \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) отметили точку \(D\). Вне треугольника \(ABC\) выбрали точку \(E\) такую, что треугольник \(DEC\) — равносторонний (рис. 213). Докажите, что точка \(C\) и середины отрезков \(BE\) и \(AD\) являются вершинами равностороннего треугольника.
Дано: треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEC \) равносторонние, \( D \) — точка на стороне \( BC \), \( E \) — вне треугольника. Нужно доказать, что треугольник с вершинами в точках \( C \), середине отрезка \( AD \) (обозначим её \( K \)) и середине отрезка \( BE \) (обозначим её \( M \)) равносторонний.
При повороте вокруг точки \( C \) на угол \( 60^\circ \) по часовой стрелке: \( A \to B \), \( D \to E \), значит \( K \to M \). Поскольку \( C \) — центр поворота, он остаётся на месте. Поворот сохраняет длины и углы, поэтому \( \angle KCM = 60^\circ \) и \( KC = CM \). Значит, \( \triangle KMC \) равносторонний. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим два равносторонних треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEC \). По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны, а все углы равны \( 60^\circ \). Значит, в треугольнике \( \triangle ABC \) стороны \( AB = BC = AC \), и углы \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \). Аналогично, в треугольнике \( \triangle DEC \) стороны \( DE = EC = DC \), и углы также равны \( 60^\circ \). Точка \( D \) лежит на стороне \( BC \) треугольника \( ABC \), а точка \( E \) расположена вне треугольника \( ABC \).
Обозначим середину отрезка \( AD \) как точку \( K \), а середину отрезка \( BE \) как точку \( M \). Нам нужно доказать, что треугольник с вершинами в точках \( C \), \( K \) и \( M \) равносторонний. Для этого рассмотрим поворот плоскости вокруг точки \( C \) на угол \( 60^\circ \) по часовой стрелке. Такой поворот переводит вершину \( A \) в вершину \( B \), так как \( \triangle ABC \) равносторонний, и угол между сторонами \( AC \) и \( BC \) равен \( 60^\circ \). Аналогично, при повороте вокруг \( C \) вершина \( D \) перейдёт в точку \( E \), так как \( \triangle DEC \) тоже равносторонний и угол между сторонами \( DC \) и \( EC \) равен \( 60^\circ \).
Поскольку \( K \) — середина отрезка \( AD \), а \( M \) — середина отрезка \( BE \), при повороте на \( 60^\circ \) точка \( K \) перейдёт в точку \( M \). Точка \( C \) является центром поворота, поэтому она остаётся неподвижной. Поворот сохраняет длины и углы, значит расстояния \( KC \) и \( MC \) равны, а угол \( \angle KCM \) равен \( 60^\circ \). Таким образом, в треугольнике \( \triangle KMC \) две стороны равны, и угол между ними равен \( 60^\circ \), что означает, что треугольник равносторонний. Следовательно, треугольник с вершинами в точках \( C \), середине отрезка \( AD \) и середине отрезка \( BE \) равносторонний, что и требовалось доказать.
