ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 728 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \(CD\) квадрата \(ABCD\) отметили точку \(E\). Биссектриса угла \(BAE\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(F\). Докажите, что \(AE = BF + ED\).

Пусть повернем квадрат \(ABCD\) вокруг точки \(A\) против часовой стрелки на 90°. Тогда \(D\) перейдет в \(B\), \(E\) в \(E’\), а \(A\) останется на месте. Треугольники \(ADE\) и \(ABE’\) равны, значит \(AE = AE’\), \(DE = BE’\). Угол \(BFA\) равен углу \(DAF\) как накрест лежащие при пересечении прямых \(BC\) и \(AD\) секущей \(AF\). В треугольнике \(AE’F\) углы при \(F\) и \(A\) равны, значит он равнобедренный и \(AE’ = E’F\). Отрезок \(E’F = BE’ + BF = DE + BF\). Значит \(AE = BF + ED\), что и требовалось доказать.

Пусть квадрат \(ABCD\) повернем вокруг точки \(A\) против часовой стрелки на 90°. При этом точка \(D\) перейдет в точку \(B\), точка \(E\) на стороне \(CD\) перейдет в точку \(E’\), а точка \(A\) останется на месте.

Так как поворот сохраняет длины и углы, то отрезок \(DE\) перейдет в отрезок \(BE’\), следовательно, \(DE = BE’\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(ABE’\). Они имеют общую сторону \(AD = AB\) (стороны квадрата равны), угол \(DAE = BAE’\) (так как это поворот), и сторону \(DE = BE’\). Значит, по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники \(ADE\) и \(ABE’\) равны. Из этого следует, что \(AE = AE’\).

Теперь рассмотрим точку \(F\), которая лежит на стороне \(BC\), и является точкой пересечения биссектрисы угла \(BAE\) с \(BC\). Угол \(BAE\) совпадает с углом \(BAE’\) после поворота, так как \(E\) переходит в \(E’\).

Углы \(BFA\) и \(DAF\) равны, так как они накрест лежащие при пересечении прямых \(BC\) и \(AD\) секущей \(AF\).

Рассмотрим треугольник \(AE’F\). Углы при вершинах \(F\) и \(A\) равны, так как оба равны углу \(DAF\). Значит, треугольник \(AE’F\) равнобедренный с равными сторонами \(AE’ = E’F\).

Длина отрезка \(E’F\) равна сумме отрезков \(BE’\) и \(BF\), то есть \(E’F = BE’ + BF\). Поскольку \(BE’ = DE\), то \(E’F = DE + BF\).

Итак, мы получили, что \(AE = AE’ = E’F = BF + DE\).

Таким образом, доказано, что \(AE = BF + ED\).