ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 729 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равностороннем треугольнике \(ABC\) выбрали точку \(P\) так, что \(\angle APB = 150^\circ\). Докажите, что существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам \(PA\), \(PB\) и \(PC\).

При повороте вокруг точки \(A\) по часовой стрелке на угол \(60^\circ\) точка \(B\) перейдет в \(C\), а \(P\) — в \(P’\). Тогда \(AP = AP’\), и \(\angle PAP’ = 60^\circ\), значит \(\triangle AP P’\) равносторонний. Из этого \(\angle AP’P = 60^\circ\) и \(P’P = AP\).

Треугольники \(\triangle ABP\) и \(\triangle ACP’\) равны, так как \(AB = AC\), \(AP = AP’\) и \(\angle APB = \angle AP’C = 150^\circ\). Тогда \(PB = CP’\).

Угол \(\angle PP’C = \angle AP’C — \angle AP’P = 150^\circ — 60^\circ = 90^\circ\), значит \(\triangle PP’C\) — прямоугольный треугольник.

Стороны этого треугольника равны \(PP’ = AP\), \(P’C = PB\), \(PC\), то есть стороны \(PA\), \(PB\), \(PC\) образуют прямоугольный треугольник. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим равносторонний треугольник \( \triangle ABC \) и точку \( P \) внутри него, такую что \( \angle APB = 150^\circ \).

Повернем треугольник вокруг точки \( A \) по часовой стрелке на угол \( 60^\circ \). При этом вершина \( B \) перейдет в точку \( C \), так как треугольник равносторонний, а точка \( P \) перейдет в точку \( P’ \). Поскольку поворот сохраняет длины, то \( AP = AP’ \), а угол между отрезками \( AP \) и \( AP’ \) равен \( 60^\circ \).

Треугольник \( \triangle AP P’ \) равнобедренный с основаниями \( AP = AP’ \) и углом между ними \( 60^\circ \), следовательно, он равносторонний. Значит, угол \( \angle AP’P = 60^\circ \) и сторона \( P’P = AP \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABP \) и \( \triangle ACP’ \). Они равны, так как \( AB = AC \), \( AP = AP’ \), и углы при вершинах \( B \) и \( C \) равны \( 150^\circ \) (по условию и свойствам поворота). Следовательно, \( PB = CP’ \).

Рассчитаем угол \( \angle PP’C \). Он равен разности углов \( \angle AP’C \) и \( \angle AP’P \), то есть \( 150^\circ — 60^\circ = 90^\circ \). Значит, треугольник \( \triangle PP’C \) прямоугольный с прямым углом при вершине \( P’ \).

Длины сторон этого треугольника: \( PP’ = AP \), \( P’C = PB \), а третья сторона \( PC \). Таким образом, стороны \( PA \), \( PB \), \( PC \) являются сторонами прямоугольного треугольника, что и требовалось доказать.