ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 73 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов, образовавшихся при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен одному из углов параллелограмма. Найдите углы параллелограмма.

В \(\triangle ABE\) сумма углов равна \(180^\circ\), значит \(\angle ABE = 180^\circ — 2\angle A\). В параллелограмме \(\angle ABC = 2\angle ABE\), отсюда \(180^\circ — \angle A = 360^\circ — 4\angle A\), значит \(3\angle A = 180^\circ\), откуда \(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle B = 120^\circ\).

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(BE\) — биссектриса угла \(B\), \(\angle BEA = 2 \angle BAD\).

Рассмотрим треугольник \(ABE\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), значит
\(\angle A + \angle ABE + \angle BEA = 180^\circ\).

Подставим \(\angle BEA = 2 \angle A\):
\(\angle A + \angle ABE + 2 \angle A = 180^\circ\), то есть
\(\angle ABE = 180^\circ — 3 \angle A\).

В параллелограмме \(\angle B = 2 \angle ABE\), значит
\(\angle B = 2(180^\circ — 3 \angle A) = 360^\circ — 6 \angle A\).

Сумма углов параллелограмма равна \(180^\circ\):
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\).

Подставим \(\angle B\):
\(\angle A + 360^\circ — 6 \angle A = 180^\circ\),

\(360^\circ — 5 \angle A = 180^\circ\),

\(-5 \angle A = -180^\circ\),

\(\angle A = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ\).

Тогда
\(\angle B = 180^\circ — 36^\circ = 144^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\).