ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 730 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите стороны треугольника \(ABC\), если \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\), а высота, проведённая из вершины \(C\), равна 4 см.
Дано: \(CH = 4\), \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(ACH\):
\(AC = \frac{CH}{\sin \angle A} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\) см.
\(AH = AC \cdot \cos \angle A = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см.
Рассмотрим треугольник \(BCH\):
\(BC = \frac{CH}{\sin \angle B} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\) см.
\(BH = BC \cdot \cos \angle B = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\) см.
Сторона \(AB = AH + BH = 4\sqrt{3} + 4\) см.
Ответ: \(AB = 4\sqrt{3} + 4\) см, \(BC = 4\sqrt{2}\) см, \(AC = 8\) см.
В треугольнике \(ABC\) нам даны углы при вершинах \(A\) и \(B\), равные \(30^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно, и высота \(CH\), опущенная из вершины \(C\) на сторону \(AB\), равная 4 см. Чтобы найти длины сторон треугольника, сначала рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой \(CH\): это треугольники \(ACH\) и \(BCH\). В этих треугольниках угол при \(A\) и угол при \(B\) совпадают с углами исходного треугольника, а высота \(CH\) является катетом, перпендикулярным к стороне \(AB\).
Рассмотрим треугольник \(ACH\). В нем угол при \(A\) равен \(30^\circ\), а высота \(CH\) — это катет, противоположный этому углу. По определению синуса, \(\sin \angle A = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{CH}{AC}\). Подставляя известные значения, получаем \(AC = \frac{CH}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\) см. Далее, чтобы найти длину отрезка \(AH\), который является прилежащим катетом к углу \(30^\circ\), используем косинус: \(\cos \angle A = \frac{AH}{AC}\), значит \(AH = AC \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см.
Теперь рассмотрим треугольник \(BCH\). Здесь угол при \(B\) равен \(45^\circ\), а высота \(CH\) — катет, противоположный этому углу. Аналогично, \(\sin \angle B = \frac{CH}{BC}\), откуда \(BC = \frac{CH}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\) см. Чтобы найти \(BH\), применяем косинус: \(\cos \angle B = \frac{BH}{BC}\), значит \(BH = BC \cdot \cos 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\) см. Сторона \(AB\) состоит из отрезков \(AH\) и \(BH\), поэтому \(AB = AH + BH = 4\sqrt{3} + 4\) см. Таким образом, найдены все стороны треугольника: \(AB = 4\sqrt{3} + 4\) см, \(BC = 4\sqrt{2}\) см, \(AC = 8\) см.
