ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 731 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек \(A(-2; 4)\) и \(B(6; 8)\).

Даны точки \( A(-2; 4) \), \( B(6; 8) \), \( O(x; 0) \). Нужно найти \( x \), чтобы \( AO = BO \).

Расстояние \( AO = \sqrt{(x + 2)^2 + 4^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 16} \).

Расстояние \( BO = \sqrt{(x — 6)^2 + 8^2} = \sqrt{(x — 6)^2 + 64} \).

Приравниваем: \( \sqrt{(x + 2)^2 + 16} = \sqrt{(x — 6)^2 + 64} \).

Возводим в квадрат: \( (x + 2)^2 + 16 = (x — 6)^2 + 64 \).

Раскрываем скобки: \( x^{2} + 4x + 4 + 16 = x^{2} — 12x + 36 + 64 \).

Упрощаем: \( x^{2} + 4x + 20 = x^{2} — 12x + 100 \).

Убираем \( x^{2} \): \( 4x + 20 = -12x + 100 \).

Переносим: \( 4x + 12x = 100 — 20 \).

Получаем: \( 16x = 80 \).

Делим: \( x = 5 \).

Ответ: \( (5; 0) \).

Даны точки \( A(-2; 4) \), \( B(6; 8) \), и точка \( O(x; 0) \) на оси абсцисс. Нужно найти значение \( x \), при котором расстояния от точки \( O \) до точек \( A \) и \( B \) равны.

Расстояние между двумя точками в координатной плоскости вычисляется по формуле: \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

Расстояние от \( O(x; 0) \) до \( A(-2; 4) \) равно \( AO = \sqrt{(x + 2)^2 + (0 — 4)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 16} \).

Расстояние от \( O(x; 0) \) до \( B(6; 8) \) равно \( BO = \sqrt{(x — 6)^2 + (0 — 8)^2} = \sqrt{(x — 6)^2 + 64} \).

Поскольку \( O \) равноудалена от \( A \) и \( B \), то \( AO = BO \). Запишем это равенство: \( \sqrt{(x + 2)^2 + 16} = \sqrt{(x — 6)^2 + 64} \).

Чтобы избавиться от корней, возведём обе части в квадрат: \( (x + 2)^2 + 16 = (x — 6)^2 + 64 \).

Раскроем скобки: \( x^{2} + 4x + 4 + 16 = x^{2} — 12x + 36 + 64 \).

Упростим обе части: \( x^{2} + 4x + 20 = x^{2} — 12x + 100 \).

Вычтем \( x^{2} \) с обеих сторон: \( 4x + 20 = -12x + 100 \).

Перенесём все слагаемые с \( x \) в одну сторону, числа — в другую: \( 4x + 12x = 100 — 20 \).

Сложим: \( 16x = 80 \).

Разделим обе части на 16: \( x = 5 \).

Получаем, что точка \( O \) имеет координаты \( (5; 0) \).