ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 732 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 25 : 12, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см³.
Дано: \(BE : AE = 25 : 12\), площадь \(S_{ABC} = 1680\) см².
Пусть \(AE = x\). Тогда \(BE = \frac{25}{12} x\).
Длина \(AB = AE + BE = x + \frac{25}{12} x = \frac{37}{12} x\).
Высота \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{\left(\frac{37}{12} x\right)^2 — x^2} = \sqrt{\frac{1369}{144} x^2 — x^2} = \sqrt{\frac{1225}{144} x^2} = \frac{35}{12} x\).
Длина \(AC = 2 AH = 2 x\).
Площадь \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot \frac{35}{12} x = \frac{35}{12} x^2\).
Подставляем площадь: \(\frac{35}{12} x^2 = 1680\), откуда \(x^2 = \frac{1680 \cdot 12}{35} = 576\), значит \(x = 24\).
Тогда \(BH = \frac{35}{12} \cdot 24 = 70\), \(BE = \frac{25}{12} \cdot 24 = 50\).
В треугольниках \(ABH\) и \(OBE\) углы при \(B\) общие, углы при \(H\) и \(E\) равны 90°, значит треугольники подобны.
Отношение сторон: \(\frac{OE}{AH} = \frac{BE}{BH}\).
Подставляем: \(\frac{OE}{24} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7}\).
Отсюда \(OE = \frac{5}{7} \cdot 24 = \frac{120}{7}\) см.
В треугольнике \(ABC\) нам дано отношение отрезков \(BE : AE = 25 : 12\). Для удобства решения обозначим длину отрезка \(AE\) через \(x\). Тогда, согласно условию, длина отрезка \(BE\) будет равна \(\frac{25}{12} x\). Поскольку \(AB\) состоит из двух частей \(AE\) и \(BE\), длина \(AB\) равна сумме этих отрезков: \(AB = AE + BE = x + \frac{25}{12} x = \frac{37}{12} x\). Это первое важное выражение, которое позволит нам связать стороны треугольника с переменной \(x\).
Далее рассмотрим высоту \(BH\), опущенную из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Поскольку \(ABC\) — равнобедренный треугольник, высота \(BH\) является также медианой и биссектрисой, поэтому точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. Значит, \(AH = HC = x\). Теперь, чтобы найти длину высоты \(BH\), применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(ABH\). Его гипотенуза — сторона \(AB = \frac{37}{12} x\), а один из катетов — \(AH = x\). Тогда высота \(BH\) вычисляется как \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{\left(\frac{37}{12} x\right)^2 — x^2} = \sqrt{\frac{1369}{144} x^2 — x^2} = \sqrt{\frac{1369 — 144}{144} x^2}=\)
\( = \sqrt{\frac{1225}{144} x^2} = \frac{35}{12} x\). Таким образом, высота выражена через ту же переменную \(x\), что и стороны.
Теперь выразим площадь треугольника \(ABC\). Площадь равна половине произведения основания на высоту: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\). Поскольку \(AC = 2 AH = 2 x\), то площадь будет равна \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot \frac{35}{12} x = \frac{35}{12} x^2\). По условию площадь равна 1680 см², значит уравнение для нахождения \(x\) будет \(\frac{35}{12} x^2 = 1680\). Умножая обе части на 12 и деля на 35, получаем \(x^2 = \frac{1680 \cdot 12}{35} = 576\), откуда \(x = 24\).
Подставляя \(x = 24\) обратно, находим высоту \(BH = \frac{35}{12} \cdot 24 = 70\) и отрезок \(BE = \frac{25}{12} \cdot 24 = 50\). Наконец, рассматриваем треугольники \(ABH\) и \(OBE\). Они подобны, так как угол при вершине \(B\) общий, а углы при \(H\) и \(E\) прямые. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: \(\frac{OE}{AH} = \frac{BE}{BH}\). Подставляя известные значения, получаем \(\frac{OE}{24} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7}\), откуда \(OE = \frac{5}{7} \cdot 24 = \frac{120}{7}\) см.
