ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 734 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите отрезок \(AB\). Постройте образ этого отрезка при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром:

1) в точке \(A\), \(k = 3\);

2) в точке \(B\), \(k = -2\);

3) в середине отрезка \(AB\), \(k = 2\).

1) Центр в точке \(A\), \(k=3\). Точка \(A\) остаётся на месте, точка \(B’\) лежит на луче \(AB\) и \(AB’ = 3 \cdot AB\). Получаем отрезок \(AB’\).

2) Центр в точке \(B\), \(k=-2\). Точка \(B\) остаётся на месте, точка \(A’\) лежит на продолжении луча \(BA\) в обратную сторону и \(BA’ = 2 \cdot BA\). Получаем отрезок \(BA’\).

3) Центр в середине \(O\) отрезка \(AB\), \(k=2\). Точка \(O\) остаётся на месте, точки \(A’\) и \(B’\) лежат на лучах \(OA\) и \(OB\) соответственно и \(OA’ = 2 \cdot OA\), \(OB’ = 2 \cdot OB\). Получаем отрезок \(A’B’\).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(A\) и коэффициентом \(k=3\). Центр гомотетии остаётся неподвижным, то есть точка \(A\) не меняет своего положения. Чтобы найти образ точки \(B\), нужно отложить от \(A\) в том же направлении вектор \(AB\), но длиной, увеличенной в 3 раза. Значит, \(AB’ = 3 \cdot AB\), где \(B’\) — образ точки \(B\). Таким образом, отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(AB’\), который в 3 раза длиннее исходного и направлен так же.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке \(B\) и коэффициентом \(k = -2\). Точка \(B\) остаётся на месте, так как это центр гомотетии. Для нахождения образа точки \(A\) нужно отложить от \(B\) в направлении, противоположном вектору \(BA\), в 2 раза больше длины \(BA\). То есть \(BA’ = 2 \cdot BA\), где \(A’\) — образ точки \(A\). Отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(BA’\), который направлен в обратную сторону от исходного и в 2 раза длиннее.

Рассмотрим гомотетию с центром в середине отрезка \(AB\), обозначим эту точку \(O\), и коэффициентом \(k=2\). Точка \(O\) не меняет своего положения. Для нахождения образов точек \(A\) и \(B\) нужно отложить от \(O\) векторы \(OA\) и \(OB\), умноженные на 2. То есть \(OA’ = 2 \cdot OA\) и \(OB’ = 2 \cdot OB\), где \(A’\) и \(B’\) — образы точек \(A\) и \(B\) соответственно. Получаем отрезок \(A’B’\), который в 2 раза длиннее исходного и симметричен относительно точки \(O\).