ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 736 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Начертите треугольник \(ABC\). Постройте образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром:

1) в точке \(B\), \(k = 3\);

2) в точке \(C\), \(k = -\frac{1}{2}\);

3) в точке \(A\), \(k = \frac{1}{2}\);

4) в середине стороны \(AB\), \(k = \frac{1}{2}\);

5) в середине стороны \(AC\), \(k = -\frac{1}{3}\).

Краткий ответ:

1) Центр гомотетии \(B\), \(k=3\). Точки \(A\) и \(C\) переводим на расстояние в 3 раза больше от \(B\) по направлению \(BA\) и \(BC\). Получаем \(A’\) и \(C’\). Треугольник \(A’BC’\).

2) Центр гомотетии \(C\), \(k=-\frac{1}{2}\). Точки \(A\) и \(B\) переводим в противоположную сторону от \(C\) на половину расстояния \(CA\) и \(CB\). Получаем \(A’\) и \(B’\). Треугольник \(A’B’C\).

3) Центр гомотетии \(A\), \(k=\frac{1}{2}\). Точки \(B\) и \(C\) переводим в сторону от \(A\) на половину расстояния \(AB\) и \(AC\). Получаем \(B’\) и \(C’\). Треугольник \(AB’C’\).

4) Центр гомотетии точка \(E\) — середина \(AB\), \(k=\frac{1}{2}\). Точки \(A\), \(B\), \(C\) переводим относительно \(E\) на половину расстояния \(EA\), \(EB\), \(EC\). Получаем \(A’\), \(B’\), \(C’\). Треугольник \(A’B’C’\).

5) Центр гомотетии точка \(F\) — середина \(AC\), \(k=-\frac{1}{3}\). Точки \(A\), \(B\), \(C\) переводим в обратную сторону от \(F\) на треть расстояния \(FA\), \(FB\), \(FC\). Получаем \(A’\), \(B’\), \(C’\). Треугольник \(A’B’C’\).

Подробный ответ:

Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются относительно заданного центра, а расстояния от центра умножаются на коэффициент \(k\).

1) Центр гомотетии — точка \(B\), коэффициент \(k=3\).
Берём каждую точку треугольника, кроме \(B\). Точка \(A\) находится на расстоянии \(BA\) от \(B\), умножаем это расстояние на 3 и откладываем от \(B\) в сторону \(A\), получаем точку \(A’\), такую что \(BA’ = 3 \cdot BA\). Аналогично для точки \(C\) получаем \(C’\) с \(BC’ = 3 \cdot BC\). Точка \(B\) остаётся на месте. Новый треугольник — \(A’BC’\).

2) Центр гомотетии — точка \(C\), коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\).
Берём точки \(A\) и \(B\). Для точки \(A\) строим луч из \(C\) в сторону \(A\), но так как коэффициент отрицательный, точка \(A’\) будет лежать на продолжении луча в обратную сторону от \(C\), на расстоянии \(CA’ = \frac{1}{2} \cdot CA\). Аналогично для точки \(B\) строим точку \(B’\) на луче, противоположном \(CB\), с длиной \(CB’ = \frac{1}{2} \cdot CB\). Точка \(C\) остаётся на месте. Новый треугольник — \(A’B’C\).

3) Центр гомотетии — точка \(A\), коэффициент \(k = \frac{1}{2}\).
Точки \(B\) и \(C\) сдвигаются вдоль лучей \(AB\) и \(AC\) соответственно, расстояния уменьшаются в 2 раза: \(AB’ = \frac{1}{2} \cdot AB\), \(AC’ = \frac{1}{2} \cdot AC\). Точка \(A\) остаётся неподвижной. Новый треугольник — \(AB’C’\).

4) Центр гомотетии — середина стороны \(AB\), обозначим её \(E\), коэффициент \(k = \frac{1}{2}\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\) смещаются относительно точки \(E\). Поскольку \(E\) — середина \(AB\), то \(EA = EB\). Точки \(A\) и \(B\) при гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{2}\) смещаются к \(E\) на половину расстояния: \(EA’ = \frac{1}{2} \cdot EA\), \(EB’ = \frac{1}{2} \cdot EB\). Точка \(C\) перемещается вдоль луча \(EC\) так, что \(EC’ = \frac{1}{2} \cdot EC\). Новый треугольник — \(A’B’C’\).

5) Центр гомотетии — середина стороны \(AC\), обозначим её \(F\), коэффициент \(k = -\frac{1}{3}\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\) смещаются относительно точки \(F\). Точки \(A\) и \(C\) находятся на расстоянии \(FA = FC\). При коэффициенте \(-\frac{1}{3}\) точки \(A\), \(B\), \(C\) смещаются в сторону, противоположную направлению от \(F\), и расстояния уменьшаются в 3 раза: \(FA’ = \frac{1}{3} \cdot FA\), \(FB’ = \frac{1}{3} \cdot FB\), \(FC’ = \frac{1}{3} \cdot FC\). Новый треугольник — \(A’B’C’\).

Оцени решение