ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 737 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Начертите треугольник \(ABC\). Найдите точку пересечения его медиан. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом:

1) \(k = 2\);

2) \(k = \frac{1}{2}\);

3) \(k = -\frac{1}{2}\).

Краткий ответ:

Построить треугольник \(ABC\). Найти точку пересечения медиан \(O\).

1) При гомотетии с центром в \(O\) и коэффициентом \(k = 2\) точки \(A’, B’, C’\) находятся по формулам:
\(A’ = O + 2(A — O)\),
\(B’ = O + 2(B — O)\),
\(C’ = O + 2(C — O)\).
Получаем треугольник \(A’B’C’\), увеличенный в 2 раза.

2) При \(k = \frac{1}{2}\) точки:
\(A’ = O + \frac{1}{2}(A — O)\),
\(B’ = O + \frac{1}{2}(B — O)\),
\(C’ = O + \frac{1}{2}(C — O)\).
Получаем треугольник \(A’B’C’\), уменьшенный в 2 раза.

3) При \(k = -\frac{1}{2}\) точки:
\(A’ = O — \frac{1}{2}(A — O)\),
\(B’ = O — \frac{1}{2}(B — O)\),
\(C’ = O — \frac{1}{2}(C — O)\).
Получаем треугольник \(A’B’C’\), уменьшенный и повернутый относительно \(ABC\).

Подробный ответ:

Построим треугольник \(ABC\) и обозначим его вершины. Найдем середины сторон: \(M\) — середина \(BC\), \(N\) — середина \(AC\), \(P\) — середина \(AB\). Проведем медианы \(AM\), \(BN\), \(CP\). Точка пересечения медиан обозначим как \(O\).

Координаты точки \(O\) находятся как среднее арифметическое координат вершин:
\(O = \frac{A + B + C}{3}\).

Для гомотетии с центром в \(O\) и коэффициентом \(k\) образ точки \(X\) с координатами \(x\) определяется по формуле:
\(X’ = O + k(X — O)\), где \(X\) — исходная точка.

1) При \(k = 2\) координаты новых вершин:
\(A’ = O + 2(A — O)\),
\(B’ = O + 2(B — O)\),
\(C’ = O + 2(C — O)\).
Треугольник \(A’B’C’\) будет увеличен в 2 раза относительно \(ABC\) с центром гомотетии в \(O\).

2) При \(k = \frac{1}{2}\) координаты новых вершин:
\(A’ = O + \frac{1}{2}(A — O)\),
\(B’ = O + \frac{1}{2}(B — O)\),
\(C’ = O + \frac{1}{2}(C — O)\).
Треугольник \(A’B’C’\) будет уменьшен в 2 раза относительно \(ABC\) с центром гомотетии в \(O\).

3) При \(k = -\frac{1}{2}\) координаты новых вершин:
\(A’ = O — \frac{1}{2}(A — O)\),
\(B’ = O — \frac{1}{2}(B — O)\),
\(C’ = O — \frac{1}{2}(C — O)\).
Треугольник \(A’B’C’\) будет уменьшен в 2 раза и повернут относительно \(ABC\) с центром гомотетии в \(O\).

Оцени решение