ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 738 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Начертите параллелограмм \(ABCD\). Точку пересечения его диагоналей обозначьте \(O\). Постройте образ этого параллелограмма при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом:

1) \(k = 2\);

2) \(k = -2\).

Краткий ответ:

Дан параллелограмм \(ABCD\) с центром гомотетии \(O\).

1) При \(k=2\) для каждой точки:
\(\overrightarrow{OA’} = 2 \cdot \overrightarrow{OA}\),
\(\overrightarrow{OB’} = 2 \cdot \overrightarrow{OB}\),
\(\overrightarrow{OC’} = 2 \cdot \overrightarrow{OC}\),
\(\overrightarrow{OD’} = 2 \cdot \overrightarrow{OD}\).
Построили \(A’B’C’D’\), увеличенный в 2 раза параллелограмм.

2) При \(k=-2\) для каждой точки:
\(\overrightarrow{OA’} = -2 \cdot \overrightarrow{OA}\),
\(\overrightarrow{OB’} = -2 \cdot \overrightarrow{OB}\),
\(\overrightarrow{OC’} = -2 \cdot \overrightarrow{OC}\),
\(\overrightarrow{OD’} = -2 \cdot \overrightarrow{OD}\).
Построили \(A’B’C’D’\), увеличенный в 2 раза и повернутый на 180° параллелограмм.

Подробный ответ:

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, а \(O\) — точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма, точка \(O\) является серединой диагоналей, то есть \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\).

Гомотетия с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k\) переводит каждую точку \(X\) в точку \(X’\), такую что \(\overrightarrow{OX’} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

Рассмотрим все вершины параллелограмма:

Для вершины \(A\) образ будет \(A’\), где \(\overrightarrow{OA’} = k \cdot \overrightarrow{OA}\).

Аналогично для \(B, C, D\): \(\overrightarrow{OB’} = k \cdot \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC’} = k \cdot \overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OD’} = k \cdot \overrightarrow{OD}\).

При \(k=2\) получаем:

\(\overrightarrow{OA’} = 2 \cdot \overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB’} = 2 \cdot \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC’} = 2 \cdot \overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OD’} = 2 \cdot \overrightarrow{OD}\).

Это значит, что каждая точка удалена от \(O\) в 2 раза дальше, чем исходная, и лежит на той же прямой \(OX\). Следовательно, параллелограмм \(A’B’C’D’\) в 2 раза больше исходного и сохраняет ориентацию.

При \(k=-2\) имеем:

\(\overrightarrow{OA’} = -2 \cdot \overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB’} = -2 \cdot \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC’} = -2 \cdot \overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OD’} = -2 \cdot \overrightarrow{OD}\).

Теперь каждая точка лежит на прямой \(OX\), но с противоположной стороны от \(O\) и на расстоянии в 2 раза большем, чем исходная. Это означает, что параллелограмм \(A’B’C’D’\) увеличен в 2 раза и повернут на 180° относительно точки \(O\).

Таким образом, при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) образ параллелограмма строится по формуле \(\overrightarrow{OX’} = k \cdot \overrightarrow{OX}\) для каждой вершины. При \(k=2\) параллелограмм увеличивается в 2 раза без изменения ориентации, при \(k=-2\) — увеличивается в 2 раза и поворачивается на 180°.

Оцени решение