ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 739 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите квадрат \(ABCD\). Постройте образ этого квадрата при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром:

1) в точке \(A\), \(k = \frac{1}{3}\);

2) в точке \(B\), \(k = -2\);

3) в точке \(C\), \(k = 2\).

Гомотетия с центром в точке \(A\), коэффициент \(k = \frac{1}{3}\). Точки \(B, C, D\) сдвигаются к \(A\) в 3 раза ближе. Получаем квадрат \(AB’C’D’\) с \(A’ = A\).

Гомотетия с центром в точке \(B\), коэффициент \(k = -2\). Точки \(A, C, D\) отражаются относительно \(B\) и удаляются в 2 раза дальше. Получаем квадрат \(A’B’C’D’\) с \(B’ = B\).

Гомотетия с центром в точке \(C\), коэффициент \(k = 2\). Точки \(A, B, D\) удаляются от \(C\) в 2 раза дальше. Получаем квадрат \(A’B’C’D’\) с \(C’ = C\).

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переводится на прямую, проходящую через центр гомотетии, а расстояние от центра до образа точки равно исходному расстоянию, умноженному на коэффициент гомотетии \(k\).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(A\) и коэффициентом \(k = \frac{1}{3}\). Точка \(A\) остается неподвижной, так как она центр. Для остальных точек квадрата \(B, C, D\) их образы находятся на прямых \(AB, AC, AD\) соответственно, причем расстояния от \(A\) до образов равны \(\frac{1}{3}\) от исходных расстояний. Это значит, что точки \(B, C, D\) сдвигаются к \(A\) в 3 раза ближе. Получаем новый квадрат \(AB’C’D’\), где \(A’ = A\), а \(B’, C’, D’\) — новые точки.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке \(B\) и коэффициентом \(k = -2\). Точка \(B\) остается на месте. Для точек \(A, C, D\) их образы лежат на прямых \(BA, BC, BD\) соответственно, но с коэффициентом \(-2\), что означает отражение относительно \(B\) и увеличение расстояния в 2 раза. То есть образы точек \(A, C, D\) находятся по другую сторону от \(B\), на расстоянии в 2 раза большем, чем исходные. В результате получается квадрат \(A’B’C’D’\), где \(B’ = B\).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(C\) и коэффициентом \(k = 2\). Точка \(C\) остается неподвижной. Образы точек \(A, B, D\) лежат на прямых \(CA, CB, CD\) соответственно, и расстояния от \(C\) до образов в 2 раза больше исходных. Это означает, что точки \(A, B, D\) удаляются от \(C\) в 2 раза дальше по направлению от \(C\) к этим точкам. Получаем новый квадрат \(A’B’C’D’\), где \(C’ = C\).