ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 74 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольник \(ABC\) вписан параллелограмм \(ADEF\) так, что угол \(A\) у них общий, а точки \(D\), \(E\) и \(F\) принадлежат соответственно сторонам \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника. Найдите стороны параллелограмма \(ADEF\), если \(AB = 8\) см, \(AC = 12\) см, \(AD : AF = 2 : 3\).

Дано: \( AB = 8 \), \( AC = 12 \), \( AD : AF = 2 : 3 \).

Пусть \( AD = 2x \), \( AF = 3x \).

По подобию треугольников \( ABC \) и \( DBE \):

\(\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC}\).

\( BD = AB — AD = 8 — 2x \), \( DE = AF = 3x \).

Подставляем:

\(\frac{8 — 2x}{8} = \frac{3x}{12}\).

Умножаем обе части на 24:

\(3(8 — 2x) = 2 \cdot 3x\),

\(24 — 6x = 6x\),

\(24 = 12x\),

\(x = 2\).

Тогда:

\(AD = 2x = 4\),

\(AF = 3x = 6\).

Пусть \( AD = 2x \) и \( AF = 3x \), так как по условию отношение отрезков \( AD : AF = 2 : 3 \). Это значит, что длины этих отрезков связаны через одно число \( x \), которое нам предстоит найти. Мы выразили \( AD \) и \( AF \) через \( x \), чтобы упростить дальнейшие вычисления и найти конкретные значения.

Теперь рассмотрим точку \( D \) на отрезке \( AB \). Поскольку \( AB = 8 \), длина отрезка \( BD \) равна \( BD = AB — AD = 8 — 2x \). Это важно, потому что треугольники \( ABC \) и \( DBE \) подобны, а значит, их соответствующие стороны пропорциональны. В частности, отношение сторон \( BD \) и \( AB \) равно отношению сторон \( DE \) и \( AC \).

Из подобия треугольников следует пропорция: \( \frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} \). Поскольку \( DE \) является стороной параллелограмма, она равна \( AF \), то есть \( DE = 3x \). Тогда подставляем известные длины в пропорцию: \( \frac{8 — 2x}{8} = \frac{3x}{12} \). Для удобства умножаем обе части равенства на 24, чтобы избавиться от знаменателей: \( 3(8 — 2x) = 2 \cdot 3x \).

Раскрываем скобки в левой части уравнения: \( 24 — 6x = 6x \). Затем переносим все слагаемые с \( x \) в одну сторону, получая уравнение \( 24 = 6x + 6x \), что упрощается до \( 24 = 12x \). Делим обе части уравнения на 12, чтобы найти \( x \): \( x = 2 \).

Теперь подставляем найденное значение \( x \) обратно в выражения для \( AD \) и \( AF \). Получаем \( AD = 2x = 2 \times 2 = 4 \) и \( AF = 3x = 3 \times 2 = 6 \). Таким образом, длины отрезков \( AD \) и \( AF \) равны 4 см и 6 см соответственно.