ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 740 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ориентируясь по клеткам, начертите пятиугольник \(ABCDE\) (рис. 227). Постройте пятиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1\), подобный данному с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\).

Длина стороны AB равна \( \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0 + 3^2} = 3 \).

Коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \), значит длина стороны \( A_1B_1 = k \cdot AB = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \).

Площадь пятиугольника \( A_1B_1C_1D_1E_1 \) равна \( k^2 \) умножить на площадь пятиугольника \( ABCDE \), то есть \( S_{A_1B_1C_1D_1E_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times S_{ABCDE} = \frac{1}{4} S_{ABCDE} \).

Для начала найдём длину стороны \( AB \) пятиугольника \( ABCDE \). Координаты точек: \( A(1,1) \) и \( B(1,4) \). По формуле расстояния между двумя точками на плоскости длина стороны равна \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Подставляем значения: \( \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \).

Далее, учитывая, что пятиугольник \( A_1B_1C_1D_1E_1 \) подобен пятиугольнику \( ABCDE \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \), длина каждой стороны нового пятиугольника будет равна длине соответствующей стороны исходного, умноженной на \( k \). Значит длина стороны \( A_1B_1 \) равна \( \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \).

Теперь найдём отношение площадей двух подобных фигур. Площадь подобного многоугольника изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь пятиугольника \( A_1B_1C_1D_1E_1 \) равна площади пятиугольника \( ABCDE \), умноженной на \( k^2 \). То есть \( S_{A_1B_1C_1D_1E_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times S_{ABCDE} = \frac{1}{4} S_{ABCDE} \).