ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 742 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 229 точка \(A_1\) — образ точки \(A\) при гомотетии с коэффициентом:

1) \(k = 3\);

2) \(k = -2\).

Постройте центр гомотетии.

Краткий ответ:

1) \( k = 3 \), значит \( OA_1 = 3 \cdot OA \). По условию \( OA = \frac{1}{2} AA_1 \). Центр гомотетии \( O \) лежит на продолжении отрезка \( AA_1 \) за точкой \( A \) так, что \( OA = \frac{1}{2} AA_1 \).

2) \( k = -2 \), значит \( OA_1 = -2 \cdot OA \). По условию \( OA = \frac{1}{3} AA_1 \). Центр гомотетии \( O \) лежит на отрезке \( AA_1 \) между точками \( A \) и \( A_1 \) так, что \( OA = \frac{1}{3} AA_1 \).

Подробный ответ:

Пусть даны точки \( A \) и \( A_1 \), где \( A_1 \) — образ точки \( A \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \). Нужно найти точку \( O \).

При гомотетии выполняется равенство \( \overrightarrow{OA_1} = k \cdot \overrightarrow{OA} \). Это значит, что точки \( O \), \( A \) и \( A_1 \) лежат на одной прямой, и длины связаны коэффициентом \( k \).

Для первого случая \( k = 3 \). Тогда \( OA_1 = 3 \cdot OA \). Из условия известно, что \( OA = \frac{1}{2} AA_1 \).

Пусть длина отрезка \( AA_1 \) равна \( d \). Тогда \( OA = \frac{d}{2} \), а \( OA_1 = 3 \cdot OA = 3 \cdot \frac{d}{2} = \frac{3d}{2} \).

Так как \( A \) и \( A_1 \) лежат на прямой, то \( O \) находится на продолжении отрезка \( AA_1 \) за точкой \( A \) в сторону, противоположную \( A_1 \). Таким образом, центр гомотетии \( O \) делит прямую так, что \( OA = \frac{1}{2} AA_1 \) и \( OA_1 = \frac{3}{2} AA_1 \).

Для второго случая \( k = -2 \). Тогда \( OA_1 = -2 \cdot OA \). Из условия известно, что \( OA = \frac{1}{3} AA_1 \).

Пусть длина отрезка \( AA_1 \) равна \( d \). Тогда \( OA = \frac{d}{3} \), а \( OA_1 = -2 \cdot \frac{d}{3} = -\frac{2d}{3} \).

Отрицательный знак указывает, что \( O \) лежит между точками \( A \) и \( A_1 \), но в противоположном направлении относительно \( A_1 \). Центр гомотетии \( O \) делит отрезок \( AA_1 \) в отношении \( 1:3 \), ближе к точке \( A \).

Итог: для \( k=3 \) центр \( O \) лежит на продолжении отрезка \( AA_1 \) за точкой \( A \) так, что \( OA = \frac{1}{2} AA_1 \). Для \( k=-2 \) центр \( O \) лежит между точками \( A \) и \( A_1 \) так, что \( OA = \frac{1}{3} AA_1 \).

Оцени решение