ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 743 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 230 изображены прямоугольник \(ABCD\) и точки \(A_1\) и \(D_1\), которые являются образами соответственно точек \(A\) и \(D\) при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника \(ABCD\) при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?
При подобии с коэффициентом \( k = 2 \) образ прямоугольника \( ABCD \) — это прямоугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), где все стороны увеличены в 2 раза. Дано, что \( A_1B_1 = 4 \), значит сторона \( AB = \frac{4}{2} = 2 \). Точки \( A_1 \) и \( D_1 \) фиксированы, а центр подобия определяется как точка, делящая отрезки \( AA_1 \) и \( DD_1 \) в отношении 1:1. Из-за возможных положений прямоугольника относительно центра подобия задача может иметь два разных построения образа.
Ответ: два решения.
При подобии с коэффициентом \( k = 2 \) образ прямоугольника \( ABCD \) — это прямоугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), где все стороны увеличены в 2 раза. Дано, что \( A_1B_1 = 4 \), значит сторона \( AB = \frac{4}{2} = 2 \). Точки \( A_1 \) и \( D_1 \) фиксированы, а центр подобия определяется как точка, делящая отрезки \( AA_1 \) и \( DD_1 \) в отношении 1:1. Из-за возможных положений прямоугольника относительно центра подобия задача может иметь два разных построения образа.
Ответ: два решения.
Мы имеем прямоугольник \( ABCD \), для которого известны образы точек \( A \) и \( D \) при преобразовании подобия с коэффициентом \( k = 2 \), обозначенные как \( A_1 \) и \( D_1 \). Также дано, что длина стороны \( A_1B_1 = 4 \), где \( B_1 \) — образ точки \( B \). Наша цель — построить образ прямоугольника \( ABCD \) при этом преобразовании и определить, сколько решений имеет задача.
Преобразование подобия с коэффициентом \( k = 2 \) означает, что все линейные размеры фигуры увеличиваются в 2 раза, а положение образа зависит от центра подобия. Для любой точки \( M \) оригинальной фигуры её образ \( M_1 \) находится на прямой, проходящей через центр подобия \( O \), и расстояние от \( O \) до \( M_1 \) равно \( k \) раз расстоянию от \( O \) до \( M \), то есть \( OM_1 = 2 \cdot OM \). Таким образом, центр подобия \( O \) делит отрезок между точкой и её образом в отношении 1:1, так как \( OM_1 — OM = OM \).
Для определения центра подобия \( O \) мы используем данные точки \( A \), \( A_1 \), \( D \) и \( D_1 \). Поскольку \( OA_1 = 2 \cdot OA \), точка \( O \) является серединой отрезка \( AA_1 \), если бы точки были известны. Аналогично для \( D \) и \( D_1 \). Однако в задаче позиции \( A \) и \( D \) не фиксированы, а определяются через построение, что позволяет найти \( O \) как точку пересечения линий, проведённых с учётом коэффициента подобия.
Дано, что \( A_1B_1 = 4 \). Так как коэффициент подобия \( k = 2 \), сторона оригинального прямоугольника \( AB \) должна быть в 2 раза меньше, то есть \( AB = \frac{4}{2} = 2 \). Это даёт нам информацию о размерах прямоугольника \( ABCD \). Сторона \( AD \), соответственно, также будет увеличена в 2 раза в образе, то есть \( A_1D_1 = 2 \cdot AD \), но конкретное значение \( AD \) может быть определено только через построение.
Теперь рассмотрим построение образа. Точка \( B_1 \) должна быть расположена так, чтобы отрезок \( A_1B_1 \) был параллелен \( AB \) и равен 4. Точка \( C_1 \), как образ точки \( C \), должна быть определена с сохранением углов прямоугольника, то есть \( B_1C_1 \) параллелен \( BC \), а \( D_1C_1 \) параллелен \( DC \). Аналогично, все стороны образа \( A_1B_1C_1D_1 \) должны быть в 2 раза больше сторон оригинала.
Ключевой момент задачи — определение количества возможных положений центра подобия \( O \). Поскольку прямоугольник \( ABCD \) не имеет фиксированной ориентации относительно точек \( A_1 \) и \( D_1 \), центр подобия \( O \) может быть расположен в двух различных позициях, соответствующих двум возможным направлениям построения прямоугольника. Это связано с тем, что линии, определяющие положение \( O \), могут пересекаться в двух точках или допускать две конфигурации фигуры при заданных условиях.
Рассмотрим это подробнее. Если мы фиксируем \( A_1 \) и \( D_1 \), то точка \( B_1 \) может быть расположена в двух возможных местах относительно \( A_1 \), в зависимости от того, как ориентирован прямоугольник (например, \( B_1 \) справа или слева от \( A_1 \), если рассматривать прямоугольник в плоскости). Аналогично, точка \( C_1 \) будет определяться соответственно. Это приводит к тому, что для каждой пары \( A_1 \) и \( D_1 \) можно построить два различных образа прямоугольника \( A_1B_1C_1D_1 \).
Таким образом, при анализе всех условий и возможных построений мы заключаем, что задача допускает два различных решения, соответствующих двум возможным ориентациям образа прямоугольника относительно заданных точек \( A_1 \) и \( D_1 \).
Ответ: два решения.
