ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 744 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 231 изображены прямоугольник \(ABCD\) и точки \(A_1\) и \(C_1\), являющиеся образами соответственно точек \(A\) и \(C\) при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника \(ABCD\) при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?
Для построения образа прямоугольника \(ABCD\) при подобии с коэффициентом \(k = 5\) нужно учесть, что точки \(A_1\) и \(C_1\) — образы точек \(A\) и \(C\). Так как \(k = 5\), все стороны нового прямоугольника будут в 5 раз больше. Находим центр подобия как точку пересечения прямых \(AA_1\) и \(CC_1\). Затем строим точки \(B_1\) и \(D_1\), увеличивая расстояния от центра подобия до \(B\) и \(D\) в 5 раз. Образ прямоугольника \(A_1B_1C_1D_1\) будет один, так как центр подобия определяется однозначно.
Ответ: задача имеет одно решение.
Давайте разберем задачу о построении образа прямоугольника \(ABCD\) при преобразовании подобия с коэффициентом \(k = 5\). У нас есть прямоугольник \(ABCD\), а также точки \(A_1\) и \(C_1\), которые являются образами точек \(A\) и \(C\) соответственно. Наша цель — построить полный образ прямоугольника, то есть найти точки \(B_1\) и \(D_1\), и определить количество возможных решений.
Сначала разберем, что такое преобразование подобия. Подобие с коэффициентом \(k = 5\) означает, что все линейные размеры фигуры увеличиваются в \(5\) раз. То есть, если сторона \(AB\) имеет длину \(l\), то сторона \(A_1B_1\) будет иметь длину \(5l\). При этом углы между сторонами сохраняются, так как прямоугольник остается прямоугольником после преобразования.
Теперь обратим внимание на данные точки \(A_1\) и \(C_1\). Поскольку они являются образами точек \(A\) и \(C\), то расстояние между \(A_1\) и \(C_1\) должно быть в \(5\) раз больше, чем между \(A\) и \(C\). Это подтверждается условием \(k = \frac{A_1C_1}{AC} = 5\). Таким образом, положение этих точек задает масштаб преобразования.
Для построения полного образа прямоугольника нам нужно определить положение точек \(B_1\) и \(D_1\). Для этого необходимо найти центр подобия — точку, относительно которой происходит преобразование. Центр подобия можно определить как точку пересечения прямых \(AA_1\) и \(CC_1\), так как при подобии каждая точка фигуры перемещается по прямой, проходящей через центр подобия, и расстояние от центра до образа точки в \(k\) раз больше, чем до исходной точки.
После нахождения центра подобия, обозначим его как \(O\). Теперь для точки \(B\) мы можем провести прямую \(OB\), и на этой прямой отложить точку \(B_1\) так, чтобы расстояние \(OB_1 = 5 \cdot OB\). Аналогично для точки \(D\): проводим прямую \(OD\) и находим точку \(D_1\), где \(OD_1 = 5 \cdot OD\). Таким образом, мы получаем все четыре точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\), которые образуют новый прямоугольник.
Важно отметить, что положение центра подобия определяется однозначно, если прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в одной точке. В большинстве стандартных задач геометрии, особенно для прямоугольников, такое пересечение существует и единственно, что приводит к однозначному положению точек \(B_1\) и \(D_1\).
Рассмотрим возможные исключения. Если прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны, то центра подобия в обычном смысле не существует, но в контексте задачи это маловероятно, так как обычно точки \(A_1\) и \(C_1\) задаются так, чтобы центр был определен. Поэтому в данном случае мы предполагаем, что центр подобия существует и единственен.
Также стоит упомянуть, что преобразование подобия сохраняет форму фигуры. Поскольку исходная фигура — прямоугольник, то и образ будет прямоугольником с углами \(90^\circ\), а стороны будут увеличены в \(5\) раз. Это дополнительно подтверждает, что построение будет корректным при правильном определении центра подобия.
Итак, после проведения всех построений мы получаем образ прямоугольника \(A_1B_1C_1D_1\). Поскольку центр подобия определяется однозначно в стандартной постановке задачи, количество возможных образов прямоугольника равно одному.
Ответ: задача имеет одно решение.
