ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 745 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте образ треугольника \(ABC\) при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k = 2\) и осевой симметрии относительно прямой \(l\) (рис. 232). Укажите коэффициент подобия

Решаем задачу. Сначала выполняем гомотетию треугольника \(ABC\) с центром \(O\) и коэффициентом \(k = 2\). Каждая точка отходит от центра \(O\) в 2 раза дальше: \(OA_1 = 2 \cdot OA\), \(OB_1 = 2 \cdot OB\), \(OC_1 = 2 \cdot OC\). Получаем треугольник \(A_1B_1C_1\).

Затем выполняем осевую симметрию треугольника \(A_1B_1C_1\) относительно прямой \(l\). Точки отражаются через прямую \(l\), и получаем треугольник \(A’B’C’\).

Коэффициент подобия: гомотетия даёт \(k = 2\), а симметрия не меняет размеры, её коэффициент \(k = 1\). Итоговый коэффициент \(k = 2 \cdot 1 = 2\).

Ответ: коэффициент подобия равен \(2\).

Давайте разберем задачу о преобразовании треугольника \(ABC\) с максимальной детализацией, чтобы понять каждый шаг. Мы должны выполнить два последовательных преобразования: гомотетию с центром \(O\) и коэффициентом \(k = 2\), а затем осевую симметрию относительно прямой \(l\). Также нужно определить коэффициент подобия между исходным и итоговым треугольником.

Начнем с первого преобразования — гомотетии. Гомотетия — это преобразование, которое увеличивает или уменьшает фигуру относительно заданного центра с определенным коэффициентом. В нашем случае центр гомотетии — точка \(O\), а коэффициент \(k = 2\). Это означает, что каждая точка треугольника \(ABC\) отобразится в новую точку так, что расстояние от центра \(O\) до новой точки будет в \(2\) раза больше, чем расстояние от \(O\) до исходной точки. Для точки \(A\) новая точка \(A_1\) определяется так, что \(OA_1 = 2 \cdot OA\), и точка \(A_1\) лежит на луче \(OA\). Аналогично, для точки \(B\) получаем точку \(B_1\), где \(OB_1 = 2 \cdot OB\), и для точки \(C\) — точку \(C_1\), где \(OC_1 = 2 \cdot OC\). Таким образом, треугольник \(ABC\) преобразуется в треугольник \(A_1B_1C_1\). Поскольку гомотетия сохраняет углы и пропорции, треугольник \(A_1B_1C_1\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом подобия \(k = 2\), то есть все стороны нового треугольника в \(2\) раза длиннее сторон исходного.

Теперь переходим ко второму преобразованию — осевой симметрии относительно прямой \(l\). Осевая симметрия — это отражение фигуры через заданную прямую, которая называется осью симметрии. Каждая точка фигуры отображается в такую точку, что ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему исходную точку и её образ. Применим это преобразование к треугольнику \(A_1B_1C_1\). Точка \(A_1\) отразится через прямую \(l\) в точку \(A’\), точка \(B_1\) — в точку \(B’\), а точка \(C_1\) — в точку \(C’\). В результате получаем треугольник \(A’B’C’\), который является образом треугольника \(A_1B_1C_1\) после осевой симметрии. Важно отметить, что осевая симметрия не изменяет размеров фигуры: длины сторон и углы остаются такими же, меняется только положение фигуры относительно оси \(l\). Таким образом, треугольник \(A’B’C’\) конгруэнтен треугольнику \(A_1B_1C_1\), если не учитывать ориентацию.

Далее нам нужно определить коэффициент подобия между исходным треугольником \(ABC\) и итоговым треугольником \(A’B’C’\). Коэффициент подобия композиции преобразований равен произведению коэффициентов подобия каждого отдельного преобразования. Первое преобразование — гомотетия с коэффициентом \(k_1 = 2\). Второе преобразование — осевая симметрия, которая не изменяет размеры фигуры, поэтому её коэффициент подобия \(k_2 = 1\). Следовательно, итоговый коэффициент подобия равен \(k = k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot 1 = 2\). Это означает, что все стороны треугольника \(A’B’C’\) в \(2\) раза длиннее соответствующих сторон треугольника \(ABC\), и треугольники подобны с коэффициентом \(k = 2\).

Рассмотрим, как это можно проверить. Если взять любую сторону треугольника \(ABC\), например, сторону \(AB\), то после гомотетии длина стороны \(A_1B_1\) будет равна \(2 \cdot AB\). После осевой симметрии длина стороны \(A’B’\) останется равной длине \(A_1B_1\), то есть \(A’B’ = 2 \cdot AB\). То же самое справедливо для других сторон. Таким образом, коэффициент подобия действительно равен \(2\). Также стоит отметить, что осевая симметрия может изменить ориентацию фигуры, но в задачах на подобие обычно учитывается только абсолютное значение коэффициента, без учета ориентации.

Итак, мы подробно разобрали оба преобразования. Сначала гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k = 2\) превращает треугольник \(ABC\) в треугольник \(A_1B_1C_1\), увеличивая все расстояния от центра в \(2\) раза. Затем осевая симметрия относительно прямой \(l\) отражает треугольник \(A_1B_1C_1\) в треугольник \(A’B’C’\), сохраняя размеры. Итоговый коэффициент подобия между треугольником \(ABC\) и треугольником \(A’B’C’\) составляет \(2\), что и является ответом на задачу.

Ответ: коэффициент подобия равен \(2\).