ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 746 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Отметьте точку \(O\) на расстоянии 4 см от её центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\) и поворота с центром \(O\) по часовой стрелке на угол 45°. Укажите коэффициент подобия.

Дана окружность с радиусом \(r = 2\) см и центром \(A\). Точка \(O\) находится на расстоянии \(d = 4\) см от центра окружности.

Первое преобразование — гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Радиус окружности уменьшается в \(k = \frac{1}{2}\) раза, то есть \(r_1 = r \cdot k = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) см. Центр новой окружности (\(A_1\)) будет находиться на расстоянии \(d_1 = d \cdot k = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) см от точки \(O\), по направлению от \(O\) к исходному центру окружности.

Второе преобразование — поворот с центром \(O\) на угол \(45^\circ\). Центр новой окружности (\(A’\)) после поворота остаётся на расстоянии \(d_1 = 2\) см от точки \(O\), но его направление изменяется на \(45^\circ\) относительно исходного положения.

Итоговая окружность имеет радиус \(r_1 = 1\) см и центр в точке \(A’\), полученной после двух преобразований.

Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\).

Дана окружность с радиусом \(r = 2\) см и центром \(A\). Точка \(O\) расположена на расстоянии \(d = 4\) см от центра окружности. Необходимо выполнить два последовательных преобразования: гомотетию с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\) относительно точки \(O\) и поворот на угол \(45^\circ\) вокруг точки \(O\).

В результате первого преобразования, гомотетии, размеры фигуры уменьшаются в \(k = \frac{1}{2}\) раза. Радиус новой окружности составляет \(r_1 = r \cdot k = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) см. Центр новой окружности (\(A_1\)) также изменяет своё положение относительно точки \(O\). Расстояние от точки \(O\) до нового центра окружности будет равно \(d_1 = d \cdot k = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) см. Таким образом, после гомотетии окружность имеет радиус \(r_1 = 1\) см и центр \(A_1\), который находится на расстоянии \(d_1 = 2\) см от точки \(O\).

Во втором преобразовании выполняется поворот на угол \(45^\circ\) вокруг точки \(O\). Центр окружности \(A_1\), находящийся на расстоянии \(d_1 = 2\) см от точки \(O\), перемещается по окружности радиуса \(d_1\), описывая дугу с углом \(45^\circ\). После поворота новый центр окружности (\(A’\)) остаётся на расстоянии \(d_1 = 2\) см от точки \(O\), но его положение изменяется на угол \(45^\circ\) относительно исходного направления.

Итоговая окружность имеет радиус \(r_1 = 1\) см и центр в точке \(A’\), которая является результатом двух последовательных преобразований. Общий коэффициент подобия после выполнения всех операций составляет \(k = \frac{1}{2}\).