ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 747 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 233 изображены две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Постройте центр гомотетии, при которой прямая \(b\) является образом прямой \(a\) с коэффициентом:

1) \(k = 2\);

2) \(k = \frac{1}{2}\);

3) \(k = -\frac{1}{2}\).

Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи о гомотетии с параллельными прямыми \(a\) и \(b\) и коэффициентами \(k = 2\), \(k = \frac{1}{2}\), \(k = -\frac{1}{2}\) нужно найти центр гомотетии для каждого случая.

Для \(k = 2\): центр находится на перпендикуляре к прямым, расстояние от прямой \(a\) до центра равно расстоянию между прямыми, умноженному на \(\frac{1}{k-1} = \frac{1}{2-1} = 1\), то есть центр за прямой \(a\).

Для \(k = \frac{1}{2}\): центр находится на перпендикуляре, расстояние от прямой \(a\) до центра равно \(\frac{1}{k-1} = \frac{1}{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2\), то есть центр за прямой \(b\).

Для \(k = -\frac{1}{2}\): центр находится на перпендикуляре, расстояние от прямой \(a\) до центра равно \(\frac{1}{k-1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}\), то есть центр между прямыми или за ними.

Ответ: бесконечно много.

Для решения задачи о гомотетии с параллельными прямыми \(a\) и \(b\) и заданными коэффициентами \(k = 2\), \(k = \frac{1}{2}\), \(k = -\frac{1}{2}\) необходимо определить центр гомотетии для каждого значения \(k\). Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка плоскости отображается в другую точку относительно фиксированного центра \(O\) с заданным коэффициентом масштабирования \(k\). Мы разберем каждый случай подробно, чтобы понять, сколько центров гомотетии существует для данных условий.

Сначала рассмотрим случай с коэффициентом \(k = 2\). Поскольку \(k > 1\), центр гомотетии должен находиться так, чтобы расстояние от центра до прямой \(b\) (образа прямой \(a\)) было в \(k = 2\) раза больше, чем расстояние от центра до прямой \(a\). Если расстояние между прямыми равно \(d\), то центр \(O\) должен делить это расстояние в определенном отношении. Формула для расстояния от прямой \(a\) до центра равна \(\frac{d}{k-1} = \frac{d}{2-1} = d\). Это означает, что центр находится на расстоянии \(d\) от прямой \(a\) в сторону, противоположную прямой \(b\). Так как прямые параллельны, перпендикуляр между ними можно провести в любой точке, но положение центра вдоль этого перпендикуляра фиксировано. Однако, поскольку прямые бесконечны, перпендикуляр можно провести бесконечное количество раз вдоль прямых, и в каждой такой точке будет свой центр гомотетии, лежащий на линии, параллельной прямым.

Теперь перейдем к случаю с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Здесь \(0 < k < 1\), что означает, что расстояние от центра до прямой \(b\) меньше, чем до прямой \(a\). Используя формулу, расстояние от прямой \(a\) до центра равно \(\frac{d}{k-1} = \frac{d}{\frac{1}{2}-1} = \frac{d}{-\frac{1}{2}} = -2d\). Знак минус указывает, что центр находится по другую сторону от прямой \(a\), то есть за прямой \(b\). Опять же, из-за параллельности прямых и бесконечной длины, перпендикуляр между прямыми можно провести в любой точке вдоль них, и в каждой такой точке будет свой центр гомотетии, лежащий на линии, параллельной прямым.

Далее рассмотрим случай с коэффициентом \(k = -\frac{1}{2}\). Отрицательное значение \(k\) означает, что гомотетия меняет направление, то есть точки отображаются на противоположную сторону относительно центра. Расстояние от прямой \(a\) до центра определяется как \(\frac{d}{k-1} = \frac{d}{-\frac{1}{2}-1} = \frac{d}{-\frac{3}{2}} = -\frac{2d}{3}\). Это указывает, что центр находится между прямыми или за их пределами в зависимости от ориентации. Как и в предыдущих случаях, из-за бесконечной длины прямых и возможности провести перпендикуляр в любой точке вдоль них, центров гомотетии будет бесконечное количество, так как они лежат на линии, параллельной прямым.

Таким образом, в каждом из трех случаев — для \(k = 2\), \(k = \frac{1}{2}\) и \(k = -\frac{1}{2}\) — центр гомотетии не единственен. Поскольку прямые параллельны и бесконечны, можно выбрать любую точку на прямой \(a\), провести через нее перпендикуляр к прямой \(b\), и на этом перпендикуляре определить положение центра в соответствии с формулой для каждого \(k\). Это означает, что центры гомотетии образуют линию, параллельную данным прямым, и их количество бесконечно для каждого значения \(k\).

Ответ: бесконечно много.