ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 760 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь треугольника равна \(S\). Найдите площадь треугольника, вершины которого — середины средних линий данного треугольника.

Согласно условию, средние линии треугольника ABC обозначены как EF, FK и EK. Тогда длины этих средних линий равны \(\frac{1}{2}AC\), \(\frac{1}{2}AB\) и \(\frac{1}{2}BC\) соответственно. Координаты вершин нового треугольника DMN, являющегося серединами средних линий, равны \(\frac{1}{2}EF\), \(\frac{1}{2}FK\) и \(\frac{1}{2}EK\). Используя формулу Герона, площадь нового треугольника DMN равна \(\frac{1}{16}S\), где \(S\) — площадь исходного треугольника ABC.

Согласно условию задачи, дан треугольник ABC, средние линии которого обозначены как EF, FK и EK. Длины этих средних линий равны \(\frac{1}{2}AC\), \(\frac{1}{2}AB\) и \(\frac{1}{2}BC\) соответственно.

Для нахождения площади треугольника, вершины которого являются серединами средних линий исходного треугольника, сначала найдем координаты этих вершин. Координаты вершины D равны \(\frac{1}{2}EF\), координаты вершины M равны \(\frac{1}{2}FK\), а координаты вершины N равны \(\frac{1}{2}EK\).

Используя формулу Герона для вычисления площади треугольника, можно найти, что площадь треугольника DMN равна \(\frac{1}{16}S\), где \(S\) — площадь исходного треугольника ABC. Это связано с тем, что отношение сторон треугольника DMN к соответствующим сторонам треугольника ABC равно \(\frac{1}{2}\), а площадь треугольника пропорциональна квадрату длин его сторон.

Таким образом, площадь треугольника, вершины которого являются серединами средних линий исходного треугольника ABC, равна \(\frac{1}{16}S\), где \(S\) — площадь треугольника ABC.

Следовательно, ответ на задачу: площадь треугольника DMN равна \(\frac{1}{16}S\), где \(S\) — площадь исходного треугольника ABC.