ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 762 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Параллельные прямые пересекают стороны угла \(A\) в точках \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) (рис. 238). Известно, что \(AM : MP = 3 : 1\). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок \(PQ\) является образом отрезка \(MN\);

2) отрезок \(MN\) является образом отрезка \(PQ\).

Краткий ответ:

\(k = \frac{\text{PQ}}{\text{MN}} = \frac{\text{AP}}{\text{AM}} = \frac{4}{3}\)
\(k = \frac{\text{PQ}}{\text{MN}} = \frac{\text{AP}}{\text{AM}} = -\frac{4}{3}\)
\(k = \frac{\text{MN}}{\text{PQ}} = \frac{\text{AM}}{\text{AP}} = \frac{3}{4}\)
\(k = \frac{\text{MN}}{\text{PQ}} = \frac{\text{AM}}{\text{AP}} = -\frac{3}{4}\)

Подробный ответ:

Пусть отрезок \(MN\) гомотетически преобразуется в отрезок \(PQ\) с центром гомотетии в точке \(A\) и коэффициентом гомотетии \(k = -\frac{3}{4}\). Тогда центр гомотетии \(A\) делит отрезок \(MP\) в отношении \(\frac{AP}{AM} = -\frac{3}{4}\), откуда \(AM = -\frac{4}{3}AP\). Аналогично, если отрезок \(PQ\) гомотетически преобразуется в отрезок \(MN\) с центром гомотетии в точке \(A\) и коэффициентом гомотетии \(k = -\frac{3}{4}\), то центр гомотетии \(A\) делит отрезок \(QM\) в отношении \(\frac{AM}{AP} = -\frac{3}{4}\), откуда \(AP = -\frac{4}{3}AM\).

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке \(0\) и коэффициентом \(k = -\frac{3}{4}\). В этом случае точка \(A\) является образом точки \(M\), а точка \(P\) является образом точки \(N\). Таким образом, отрезок \(PQ\) является образом отрезка \(MN\) при данной гомотетии.

Аналогично, при гомотетии с центром в точке \(0\) и коэффициентом \(k = -\frac{3}{4}\), отрезок \(MN\) является образом отрезка \(PQ\).

Оцени решение