ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 764 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно с радиусами \(R\) и \(r\) касаются внешним образом в точке \(O\) (рис. 239). Докажите, что окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\).

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно с радиусами \(R\) и \(r\) касаются внешним образом в точке \(O\). Отрезок \(O_1 O\) равен \(R\), а отрезок \(O_2 O\) равен \(r\). Коэффициент гомотетии \(k\), при которой окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\), вычисляется по формуле \(k = -\frac{O_1 O}{O_2 O} = -\frac{R}{r}\).

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно с радиусами \(R\) и \(r\) касаются внешним образом в точке \(O\). Отрезок \(O_1 O\) равен \(R\), а отрезок \(O_2 O\) равен \(r\). Коэффициент гомотетии \(k\), при которой окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\), вычисляется по формуле \(k = -\frac{O_1 O}{O_2 O} = -\frac{R}{r}\).

Таким образом, окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\). Это означает, что размеры и форма окружности с центром \(O_1\) пропорциональны размерам и форме окружности с центром \(O_2\), при этом коэффициент пропорциональности равен \(-\frac{R}{r}\).

Отношение радиусов окружностей \(\frac{R}{r}\) определяет коэффициент гомотетии \(k = -\frac{R}{r}\). Чем больше радиус \(R\) первой окружности по сравнению с радиусом \(r\) второй окружности, тем больше коэффициент гомотетии \(k\) по абсолютной величине. Это означает, что первая окружность будет значительно больше второй окружности при данной гомотетии.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\), где \(R\) и \(r\) — радиусы соответствующих окружностей.